Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2019/2020 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ191	БПМИ192	БПМИ194
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Дима Трушин	Антон Шафаревич	Сергей Гайфуллин
Ассистент	Илья Паузнер	Вадим Павлов	Данил Колядин

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Дима Трушин			zoom с 16:00
2	Антон Шафаревич				16:30–18:00, ауд. G003
3	Сергей Гайфуллин			18:10–19:30
4	Илья Паузнер
5	Вадим Павлов
6	Данил Колядин	16:40–18:00

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (12.09.2019). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (19.09.2019). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц в терминах ОСЛУ.

Лекция 3 (26.09.2019). 6 эквивалентных условий обратимости матрицы. Массовое решение СЛУ. Поиск обратной матрицы Гауссом. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений. Блочные формулы умножения матриц.

Лекция 4 (03.10.2019) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы. Примеры матричных норм. Понятие о согласованной норме. Краткий обзор того, для чего нужны нормы: понятие расстояния между матрицами, сходимость, вычисление гладких функций от матриц.

Лекция 5 (10.10.2019). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки.

Лекция 6 (17.10.2019). Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Доказательство эквивалентности второго и третьего подходов.

Лекция 7 (30.10.2019). Доказательство эквивалентности (I) и (II) для определителей. Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы.

Лекция 8 (06.11.2019). Формулы Крамера. Характеристический многочлен и его связь со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 9 (13.11.2019). Поля. Определение поля и изоморфизма полей. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 10 (20.11.2019). Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка. Три эквивалентных определения базиса. Линейные отображения и изоморфизмы векторных пространств.

Лекция 11 (27.11.2019). Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Фундаментальная система решений (ФСР). Базисы, матрица перехода, смена координат. Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение.

Лекция 12 (04.12.2019). Совпадение минорного ранга с остальными. Теорема Кронекера-Капелли. Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

Лекция 13 (11.12.2019). Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Оценка ранга произведения матриц снизу. Прямая сумма подпространств.

Лекция 14 (18.12.2019). Линейные операторы, матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Неболее чем одномерные инвариантные подпространства и собственные векторы, собственные значения. Связь собственных значений со спектором. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Собственные подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

3-4 модули

Лекция 15 (15.01.2020). Напоминание о линейных операторах. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Напоминание о собственных и корневых подпространствах. Классификационный результат для линейных отображений. Объявлена цель: классификационный результат для линейных операторов. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

Лекция 16 (20.01.2020). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах хар многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены.

Лекция 17 (29.01.2020). Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств. Геометрический смысл кратности корня минимального и характеристического многочленов.

Лекция 18 (05.02.2020). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Высота вектора для нильпотентного оператора. Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток. Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность.

Лекция 19 (12.02.2020). Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

Лекция 20 (19.02.2020). Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения. Тензоры. Билинейные отображения и универсальная операция умножения. Примеры. Единственность универсальной операции.

Лекция 21 (26.02.2020). Достаточные условия универсальности операции умножения. Существование тензорного произведения (конструкция через базисы), независимость конструкции от базиса. Размерность тензорного произведения. Примеры: 1) тензорное произведение с полем, 2) тензорное прозиведение F^n и F^m, 3) Линейные отображения как тензорное произведение. Индуцированное линейное отображение на тензорном произведении. Линейная независимость с векторными коэффициентами.

Лекция 22 (04.03.2020). Тензорное произведение нескольких подпространств. Свертка. Примеры: 1) след как свертка, 2) композиция линейных отображений как свертка. Тензоры на пространстве V типа (p, q). Обозначения Эйнштейна. Смена базиса. Примеры: 1) тензоры типа (1,0) -- вектры, 2) тензоры типа (0, 1) -- линейные функции, 3) тензоры типа (1, 1) -- линейные операторы. Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряженным. Матрица билинейной формы.

Лекция 23 (11.03.2020). Матрица билинейной формы, замена матрицы билинейной формы при смене координат, матричный формализм. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Свойство симметричности и кососимметричности формы на одном пространстве. Обсуждение того, какие матричные характеристики являются инвариантами формы: (1) ранг, (2) след не является, (3) определитель по модулю квадратов ненулевых чисел, (4) невырожденность матрицы, симметричность и кососимметричность. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер. Двоейственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы.

Лекция 24 (25.03.2020). Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. Структура векторного пространства на билинейных формах, изоморфизм на матрицы. Классификационное утверждение о том, что две матрицы задают одну и ту же билинейную форму на паре разных пространств тогда и только тогда, когда их ранги совпадают. Билинейные формы на одном пространстве, замечание про характеристику поля 2. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической.

Лекция 25 (08.04.2020). Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс. Метод Якоби.

Лекция 26 (15.04.2020). Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Метод Лагранжа. Классификация симметрических билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура. Геометрический смысл сигнатуры.

Лекция 27 (22.04.2020). Положительная и отрицательная определенность формы на полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Ортогональные и ортонормированные базисы. Задание скалярных произведений в базисах. Разложение вектора по ортогональным и ортонормированным базисам. Ортогональные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Классификация евклидовых пространств. Замечание о сведении к школьной геометрии. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве.

Лекция 28 (29.04.2020). Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта. Проекции и ортопроекции. Формула БАБА для проектора. Формула Атата для ортопроектора. Расстояние между двумя векторами, между вектором и подпространством, угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

Лекция 29 (06.05.2020). Матрица Грама и ее свойства. k-мерные объемы через матрицу Грама и рекурентная формула. Расстояние от вектора до подпространства через объемы. Изменение объема под действием линейного отображения и при смене образующих параллелепипеда. Ориентация базисов. Понятие ориентированного n-мерного объема. Изменение ориентированного объема при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объема с определителем. Смена ориентированного объема под действием оператора.

Лекция 30 (09.05.2020). Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы, изменение матрицы при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Сведение к билинейным формам. Ортогональные дополнения и двойственность. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, выражение этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм.

Лекция 31 (13.05.2020). Классификация эрмитовых форм. Понятие сигнатуры, положительная и отрицательная определенность. Метод Якоби. Критерий Сильвестра. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Ортонормированность и ортогональность. Классификация эрмитовых пространств. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между векторами и поляризации угла. Замечание про угол и его поляризацию. Унитарные матрицы. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного базиса в эрмитовом пространстве. Обзор геометрических понятий в эрмитовом пространстве: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица грама и формальный объем. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в еклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц. Ключевые свойства движений: спектр на окружности, собственные подпространства ортогональны, ортогональное дополнение к инвариантному инвариантно.

Лекция 32 (16.05.2020). Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость плюс спектр на окружности). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал унитарным. Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида). Когда существует скалярное произведение, чтобы данный оператор стал ортогональным. Сопряженное линейное отображение и его матрица. Связь с сопряженным отображением на двойственном пространстве. Самосопряженные операторы. Матрица самосопряженного оператора. Базовые свойства самосопряженного оператора (вещественный непустой спектр, ортогональность собственных пространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному).

Лекция 33 (20.05.2020). Классификация самосопряженных операторов в эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Билинейные формы и операторы: изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (полуторалинейной) формы через спектр ее матрицы. Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами. SVD или сингулярное разложение. Ортопроекторы и их характеризация в терминах сопряжения. Вычисление размерности образа ортопроектора. Задача о низкоранговом приближении (постановка).

Лекция 34 (27.05.2020). Решение задачи о низкоранговом приближении через SVD. Сжатие данных с потерей информации. Аффинные пространства, репер и положительно определенные декартовы системы координат. Линейные многообразия и два способа их задания. Направляющие пространства, размерность линейного многообразия. Связь со СЛУ и ОСЛУ. Взаимное расположение линейных многообразий. Линейные многообразия в евклидовых и эрмитовых пространствах. Вычислений расстояний между ними.

Лекция 35 (03.06.2020). Векторное произведение, смешанное произведение и его связь с ориентированным объемом и определителем. Формулы для векторного произведения. Проективные пространства и подпространства, их размерность. Однородные координаты, аффинные карты и неоднородные координаты. Проективные преобразования и их запись в координатах (однородных и неоднородных). Пример применения проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 октября включительно

в период с 14 по 19 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Листок 4. Конусы

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

191	192	194
5ostHVl	Ts8KuWp	xFafyLG

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

• 10 декабря 23:00 для 192 и 194

• 12 декабря 23:00 для 191

Лабораторная работа 2 (4-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

• 4 июня 23:00 для всех групп

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 16 ноября, 16:40–21:00 аудитории R206 и R306 ВНИМАНИЕ аудитории изменились еще раз!

Распределение групп по аудиториям

R206: 191-1, 191-2, 192-1

R306: 192-2, 194-1, 194-2

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

4-й модуль

Условия задач с контрольной

Коллоквиумы

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

2-й модуль

Дата проведения: 14 декабря аудитории

• С 9:00 (1-я пара) R301
• С 15:10 (5-я пара) R404

Распределение по времени:

• 191-1 — 10:30
• 191-2 — 11:40
• 192-1 — 12:50
• 192-2 — 14:00
• 194-1 — 15:10
• 194-2 — 16:20

Формат проведения:

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает билет на 5 определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений. Ответ оценивается с шагом 0,5.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4 вопросами на доказательство. Стоимость вопросов: 1/2/2/3. На написание первых двух вопросов даётся 30 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности. Эта часть сдается одному принимающему.

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 26 декабря, время начала 13:40, аудитории R406, R407, R408

Условия задач с экзамена

Экзамен 4-й модуль

Условия задач с экзамена

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

191	192	194

Результаты сдачи задач из листков

191	192	194

Результаты 1-й контрольной работы

191	192	194

Сводные таблицы с оценками

191	192	194

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

191	192	194

Результаты сдачи задач из листков

191	192	194

Результаты 2-й контрольной работы

191	192	194

Сводные таблицы с оценками

191	192	194

Ссылки

• Материалы курса

• Материалы семинаров 191 группы

• Исходники лекций на github Все правки и предложения по модификациям просьба выполнять в виде pull request-ов на github-е.

Литература

Учебники

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.