Алгебра на ПМИ 2021/2022 (пилотный поток)
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ211 | БПМИ212 | БПМИ214 |
|---|---|---|---|
| Лектор | Аржанцев Иван Владимирович | ||
| Семинарист | Зайцева Юлия Ивановна | Перепечко Александр Юрьевич | Калеева Галина Анатольевна |
| Ассистент | Зайцев Даниил Викторович | Черепанов Леонид Константинович | Шевченко Пётр Павлович |
Расписание консультаций
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | суббота | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Аржанцев Иван Владимирович | 17:40-19:00 | 17:40-19:00 | |||||
| |
Зайцева Юлия Ивановна | 13:00-14:20, очно или после 16:20 |
11:10-12:30, очно или после 16:20 |
19:00-20:00, онлайн | |||
| |
Калеева Галина Анатольевна | 13:00, онлайн
14 мая, 15.00 Записаться на консультацию. | |||||
| |
Перепечко Александр Юрьевич | 14:40-15:30 и 16:50-17:40, онлайн, перед входом пишите в телеграм @aperep | |||||
| |
Зайцев Даниил Викторович | 16:20-17:40, онлайн | |||||
| |
Шевченко Пётр Павлович | 15:00 "онлайн" (обговариваемо) | |||||
| |
Черепанов Леонид Константинович | 13:00-14:20 онлайн Zoom в среду Zoom в другие дни |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка выражается следующим образом:
Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2 * Ок/р + 0,5 * Оэкз.
Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.
- Лекция 1 (05.04.2022) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.
- Лекция 2 (12.04.2022) Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
- Лекция 3 (19.04.2022) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
- Лекция 4 (25.04.2022) Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля. Протоколы с нулевым разглашением. Задача разделения секрета.
- Лекция 5 (26.04.2022) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряжённости.
- Лекция 6 (17.05.2022) Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем.
- Лекция 7 (24.05.2022) Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Понятие о базисе Грёбнера.
- Лекция 8 (31.05.2022) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальные многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
- Лекция 9 (7.06.2022) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
- Лекция 10 (14.06.2022) Основная задача теории кодирования. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие ошибки. Характеристики кода. Неравенство Синглтона. Совершенные коды. Линейные коды. Вес Хэмминга. Код Хэмминга [7, 4, 3]2. Коды Рида-Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса.
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание. Дедлайн по N-му домашнему заданию: начало N+1-го семинара.
Контрольная работа
Контрольная работа состоится 18 июня в 10.00 в ауд. R401.
Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. За решение каждой из задач можно получить 0, 1 или 2 балла. На решение задач отводится 1 час 20 минут. На контрольной можно использовать любые рукописные и печатные материалы, а также непрограммируемые калькуляторы. Использование других электронных устройств запрещено.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме, в аудитории. Каждый студент получает два вопроса, один из первой части курса и второй из второй. На подготовку к ответу отводится 40 минут. Во время подготовки разрешается пользоваться любыми бумажными материалами, пользоваться материалами после начала ответа нельзя. После ответа на вопросы преподаватель беседует со студентом по программе курса и может предложить дополнительные теоретические задачи. Оценка выставляется по 10-балльной системе.
Программа экзамена.
Ведомости текущего контроля
| 211 | 212 | 214 |
|---|
Куда сдавать домашние задания
Номер группы определяется ведомостью (см. выше).
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
