Алгебра на ПМИ 2021/2022 (основной поток)
Telegram-канал: https://t.me/Alg_AMI_21_22_osn
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ213 | БПМИ215 | БПМИ216 | БПМИ217 | БПМИ218 | БПМИ219 | БПМИ2110 | БПМИ2111 | БПМИ2112 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Роман Авдеев | ||||||||
| Семинарист | Артём Максаев | Роман Авдеев | Михаил Федоров | Никита Медведь | Антон Шафаревич | Артём Максаев | Михаил Хрыстик | Сергей Гайфуллин | |
| Ассистент | Марина Груздева | Фёдор Осетров | Алия Зарипова | Армен Есаян | Валерия Шишлевская | Мария Солодуха | Марк Черебедов | Тагир Хамитов | Денис Лысков |
Расписание консультаций
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| |
Роман Авдеев | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Артём Максаев | |||||
| |
Михаил Федоров | |||||
| |
Никита Медведь | |||||
| |
Антон Шафаревич | |||||
| |
Михаил Хрыстик | |||||
| |
Сергей Гайфуллин | |||||
| |
Марина Груздева | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Фёдор Осетров | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Зарипова Алия | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Армен Есаян | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Валерия Шишлевская | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Мария Солодуха | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Черебедов Марк | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Тагир Хамитов | По договорённости, пишите в тг | ||||
| |
Денис Лысков | |||||
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка вычисляется следующим образом:
Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2*Ок/р + 0,5*Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (6.04.2022) [видеозапись, слайды]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.
Лекция 2 (13.04.2022) [видеозапись, слайды]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.
Лекция 3 (20.04.2022) [видеозапись]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.
Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3
Лекция 4 (27.04.2022) [видеозапись]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.
Лекция 5 (11.05.2022) [видеозапись, слайды]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем.
Конспект, включающий в себя содержание лекций 4–5
Лекция 6 (18.05.2022) [видеозапись, слайды]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).
Лекция 7 (25.05.2022) [видеозапись, слайды]. Доказательство критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.
Конспект, включающий в себя содержание лекций 6–7
Лекция 8 (1.06.2022) [видеозапись, слайды]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов.
Лекция 9 (8.06.2022) [видеозапись, слайды]. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов. Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля.
Лекция 10 (15.06.2022) [видеозапись]. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять. Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние.
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.
Контрольная работа
Дата-время: 14 июня, 16:20, продолжительность — 2 часа
Организационная информация по проведению контрольной: очный формат; дистанционный формат
Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"
Темы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
- Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, ещё задачи]
- Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
- Базисы Грёбнера и их приложения [примеры, задачи 5,6,8 из листка 7 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 6,7 из листка 5, задача 3 из ДЗ-5, задачи 4,5 из листка 8 и задача 1 из ДЗ-8]
- Вычисления в конечных полях [примеры]
Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).
Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет.
Экзамен
Формат экзамена: устный
Студент вытягивает билет с 4 вопросами из программы (два вопроса по 2 балла и ещё два по 3 балла; все вопросы на доказательства!). На подготовку к ответу даётся 50 минут, после чего происходит разговор с принимающим, по результатам которого выставляется оценка. Знание только определений и формулировок даёт не более 0,5 балла за вопрос и, следовательно, не более 2 баллов в сумме.
Организационная информация: очный формат, дистанционный формат
Ведомости текущего контроля
| 213 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 | 2110 | 2111 | 2112 |
|---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
- И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.
