Основы аналитической теории чисел 2024/25

О курсе

Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. Лектор — А. В. Устинов

Предварительная программа

1. Тригонометрические суммы.
2. Распределение квадратичных вычетов.
3. Формулы суммирования.
4. Распределение дробных долей вещественнозначных функций.
5. Метод ван дер Корпута.
6. Тригонометрические суммы с рекуррентной функцией.

Полезные ссылки

google-classroom

таблица с номером аудитории

ТГ-группа

Лекции

Лекция 1 (27.09.2024) Задача о числе решений квадратичных сравнений. Суммы Гаусса. [К]

Лекция 2 (04.10.2024) Задачи о распределении квадратичных (не) вычетов. Суммы символов Лежандра. Суммы Якобшталя. [J, АР]

Лекция 3 (11.10.2024) Последняя запись из математического дневника Гаусса. [J] Сведение неполной суммы к полной. Асимптотические формулы для числа квадратичных (не)вычетов, не превосходящих данной границы. [К]

Лекция 4 (18.10.2024) Наименьший квадратичный невычет: оценка Виноградова. [Сегал]

Лекция 5 (01.11.2024) Числа и многочлены Бернулли. [ГКП] Символический вывод формулы суммирования Эйлера. [ГКП, Stef]

Лекция 6 (08.11.2024) Формула суммирования Эйлера. Аналитическое продолжение дзета-функции Римана на всю комплексную плоскость. [ГКП] Формула суммирования Пуассона. Вычисление суммы Гаусса. [Д]

Лекция 7 (15.11.2024) Связь между формулами суммирования Эйлера и Пуассона. Вариант формулы суммирования Пуассона для функций класса Шварца. Функциональное уравнение для тета-функции. [Коб]

Лекция 8 (22.11.2024)

Лекция 9 (29.11.2024)

Лекция 10 (06.12.2024)

Домашние задания

ДЗ-1: Суммы Гаусса, Рамануджана и Клостермана.

ДЗ-2: Суммы Шрутки.

ДЗ-3: Разные задачи о квадратичных (не)вычетах.

ДЗ-4 (творческое и необязательное): Загадочные суммы Уайтмена и Брюера.

ДЗ-5 Числа и многочлены Бернулли.

ДЗ-6 Суммирование, периодизация, интерполяция.

ДЗ-7 Формула суммирования Пуассона.

Оценка

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

Книги

Основная литература

1. [К] Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.
2. [Сегал] Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.

Дополнительная литература

1. [АР] Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.
2. [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
3. [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.
4. [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
5. [J] Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.
6. [Stef] Steffensen J. F. Interpolation. 1950. Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935
7. [Step] Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.