Алгебра на ПМИ 2023/2024 (основной поток)
Telegram-канал: https://t.me/Alg_AMI_23_24_osn
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ235 | БПМИ236 | БПМИ237 | БПМИ238 | БПМИ239 | БПМИ2310 | БПМИ2311 | БПМИ2312 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Роман Авдеев | |||||||
| Семинарист | Роман Авдеев | Михаил Игнатьев | Роман Стасенко | Алина Никитина | Виктор Лопаткин | Антон Шафаревич | Сергей Гайфуллин | |
| Ассистент | Никита Червов | Александр Деревягин | Арина Ромашкина | Амина Каракотова | Алексей Воронко | Матвей Кривда | Дарья Оникова | Данила Окунев |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка вычисляется следующим образом:
Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (3.04.2024). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы.
Лекция 2 (5.04.2024). Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы.
Лекция 3 (10.04.2024). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.
Лекция 4 (17.04.2024). Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности.
Конспект, включающий в себя материал лекций про группы
Лекция 5 (19.04.2024). Завершение доказательства критерия цикличности. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце.
Лекция 6 (24.04.2024). Главные идеалы и идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x].
Лекция 7 (26.04.2024). Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h).
Конспект, включающий в себя материал лекций про кольца
Лекция 8 (10.05.2024). Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены.
Лекция 9 (15.05.2024). Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера.
Лекция 10 (17.05.2024). Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.
Конспект, включающий в себя материал лекций про базисы Грёбнера
Лекция 11 (22.05.2024). Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом.
Лекция 12 (24.05.2024). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов.
Конспект, включающий в себя материал лекций про поля
Лекция 13 (5.06.2024). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.
Лекция 14 (7.06.2024). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние. Элементы криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля.
Листки с задачами
Домашние задания
Контрольная работа
Дата-время: 10 июня, 16:40, продолжительность — 2 часа
Организационная информация по проведению контрольной
Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"
Темы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
- Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, ещё задачи]
- Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
- Базисы Грёбнера и их приложения [примеры, задачи 5,8 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 4,5 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
- Вычисления в конечных полях [примеры]
Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).
Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет.
Экзамен
Формат экзамена: устный
Студент вытягивает билет с 4 вопросами из программы (два вопроса по 2 балла и ещё два по 3 балла; все вопросы на доказательства!). На подготовку к ответу даётся 50 минут, после чего происходит разговор с принимающим, по результатам которого выставляется оценка. Знание только определений и формулировок даёт не более 0,5 балла за вопрос и, следовательно, не более 2 баллов в сумме.
Список вопросов для подготовки к экзамену
Ведомости текущего контроля
| 235 | 236 | 237 | 238 | 239 | 2310 | 2311 | 2312 |
|---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
- И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.
