Численные Методы 2018

О курсе

Этот курс численных методов похож на классическую вычислительную математику, но в то же время более практический. Студент на этой дисциплине научится владеть основными методами численного дифференцирования, интегрирования, интерполяции и аппроксимации, приближённо искать корни нелинейных уравнений и решать системы дифференциальных уравнений и многое другое. Будет рассказано о применении большинства алгоритмов в практических задачах показа медийной рекламы.

Курс читается с 2016 года.

Учебный план

Предусмотрены лекционные, семинарские занятия, 2 контрольных работы, а также курсовой проект.

Приблизительная программа лекций

Пример практической задачи: показ рекламы в сети Интернет (1 лекция, 1 семинар)

Конспект

Общая схема процесса. Отличия от традиционной рекламы. Участники процесса. Медийная и контекстная реклама. Рекламные кампании, их параметры. Описание аудитории. Пространство сегментов аудитории. Вероятностное описание посетителей. Оценка профиля посетителя Интернета. Таргет рекламной кампании. Определение вероятности попадания посетителя в целевую аудиторию. Алгоритм показа медийной рекламы с таргетированием. Упрощенная модель показа рекламы с таргетированием в Интернете. Постановка практической задачи. Необходимость применения численных методов решения.

Предмет вычислительной математики (½ лекции)

Конспект (с дифференцированием)

Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.

Численное дифференцирование (½ лекции, 1 семинар)

Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности. Метод неопределенных коэффициентов вывода формул численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования.

Приближение функций, заданных на дискретном множестве (2 лекции, 2 семинара)

Конспект (полиномы, сплайны, константа Лебега)

Конспект (многочлены Чебышёва)

Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Остаточный член интерполяции. Интерполяция по чебышёвским узлам. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами.

Численное интегрирование (1 лекция, 1 семинар)

Конспект

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (4 лекции, 3 семинара)

Конспект 1 Конспект 2 Конспект 3 Конспект 4

Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Прямые методы решения: метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, метод прогонки для систем специального вида. LU-разложение и его связь с методом Гаусса. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условия сходимости метода простых итераций. Методы Якоби, Зейделя. Методы решения, основанные на минимизации функционалов. Переопределенные системы линейных алгебраических уравнений.

Методы численного решения нелинейных уравнений (1 лекция, 1 семинар)

конспект

Принцип сжимающих отображений. Метод простых итераций. Условие сходимости метода простых итераций. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Метод релаксации.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (2 лекции, 1 семинар)

ОДУ, Краевые задачи

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Численные методы решения задачи Коши для ОДУ. Методы Рунге–Кутты и Адамса решения ОДУ. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы решения линейных и нелинейных краевых задач.

Применение численных методов в модели показа медийной рекламы (2 лекции, 2 семинара)

Применение численного интегрирования, табуляция результата. Использование интерполяции для вычисления функции, использование сплайнов. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений для построения сплайна. Применение формул численного дифференцирования для аппроксимации уравнений. Численное решение задачи Коши для модели показа медийной рекламы. Имитационная модель системы показа медийной рекламы. Алгоритмы игры на аукционе RTB (Real-Time Bidding).

Курсовой проект

Все материалы по курсовому проекту лежат в dropbox.

В курсовом проекте предлагается реализовать имитацию поведения рекламного сервера, описанного в виде системы дифференциальных уравнений. Особое творческое место занимает задача поиска оптимальной функции, влияющей на изменение порога показа рекламы. Подробное описание можно найти тут.

В курсовом проекте есть 3-4 промежуточных дедлайна, к которым должны быть готовы определённые части программы и отчёта. За просроченный дедлайн максимальная итоговая оценка за проект снижается на 10%. В конце предусмотрена итоговая защита проекта.

Активные дедлайны

Проектное задание: ThresholdDynamics.pdf.

1. Дедлайн 0 (20 октября 2300ч): описание.
2. Дедлайн 1 (15 ноября 2100ч): описание...
3. Дедлайн 2 (30 ноября 2100ч): описание
4. Дедлайн 3 (финальный, 15 декабря 1600ч): описание

Правила оценивания

Результирующая оценка по дисциплине рассчитывается по формуле

Накопленная и экзаменационная оценки округляются арифметически.

Накопленная оценка рассчитывается по формуле

где пкр - промежуточная контрольная работа, фкр - финальная контрольная работа, экз - экзамен.

Контакты

Есть группа в telegram для глобальных объявлений (инвайт скоро).

Полезные ссылки

Базовый учебник

Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике — М.: Интернет–Университет информационных технологий, 2006. — 522с.

Дополнительная литература

1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–Физматлит, 1994. — 335 с.; 3-е изд. — М.: Физматлит, 2008. — 288 с.
2. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — 240с.
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608с. Комментарий: продвинутые методы для линейной алгебры.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512с.
5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы -- М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. -- 636с.