Теория Информации 2018/2019 — различия между версиями

Версия 12:05, 12 сентября 2018

Курс Теория информации проходит по пятницам в аудитории Кембридж ШАД Яндекса. Первая лекция 14 сентября.

- Лектор:** Николай Константинович Верещагин

- Семинарист:** Александр Козачинский

- Контакты:** nikolay.vereshchagin@gmail.com, kozlach@mail.ru

Для того, чтобы сдавать курс, необходимо зарегистрироваться на него в системе AnyTask. Чтобы сделать это, введите инвайт: ?????? ((http://anytask.org/course/212 странице курса)).

Шаблон:ToC from=h2 to=h4

Содержание

1 Краткое описание
2 Отчётность по курсу и критерии оценки
- 2.1 Контрольные мероприятия и их сроки
3 Домашние задания
4 Программа курса
5 Прочитанные лекции
6 Проведённые семинары
7 Материалы по курсу
8 Новости

Краткое описание

В науке не существует единого подхода к определению понятия информации. В разных областях это понятие трактуется по-разному. Имеются информация по Хартли, энтропия Шеннона, Колмогоровская сложность, коммуникационная сложность. Каждое из этих понятий отражает некоторую грань интуитивного понятия информации. В курсе будет рассказано об этих понятиях и как они применяются в решении разных задач.

Отчётность по курсу и критерии оценки

Всего будет 6 заданий и каждое оценивается по десятибальной системе (10 означает решение всех задач ДЗ). Таким образом, максимально возможное количество баллов за ДЗ равно 60. Оценка за каждое ДЗ будет выставляться в общую ведомость (в системе Any Task) примерно через неделю после дедлайна. Домашние задания можно сдать перед началом семинара (но не на самом семинаре или после него) семинаристу или послать по электронной почте в виде PDF по адресу kozlach@mail.ru или через систему Any Task. Вопросы по оценке за ДЗ просьба присылать не в Any Task, а на kozlach@mail.ru (проще отвечать).

Сдача домашних заданий после их срока, а также сдача курса после окончания семестра невозможна (за исключением тех, кому нужно сдать курс для отчетности в ВШЭ - для них возможна пересдача, при которой накопленная оценка аннулируется).

Отчетность для заочников не будет отличаться от отчетности для очников.

Итоговая оценка студентов ШАД рассчитывается по следующей таблице: 30 баллов - зачет 39 баллов - хорошо 48 баллов - отлично

Контрольные мероприятия и их сроки

По курсу будет 6 домашних заданий, контрольных и промежуточных экзаменов не будет.

Примерные сроки сдач заданий

Первое домашнее задание 22 сентября. Второе домашнее задание 6 октября. Третье домашнее задание 20 октября. Четвертое домашнее задание 10 ноября. Пятое домашнее задание 1 декабря. Шестое домашнее задание 15 декабря.

Домашние задания

((file:dz1.pdf Домашнее задание №1)) -- дедлайн 22 сентября.

((file:dz2.pdf Домашнее задание №2)) -- дедлайн 6 октября.

((file:dz3.pdf Домашнее задание №3)) -- дедлайн 20 октября.

((file:dz4.pdf Домашнее задание №4)) -- дедлайн 3 ноября.

((file:dz5.pdf Домашнее задание №5)) -- дедлайн 24 ноября.

((file:dz6.pdf Домашнее задание №6)) -- дедлайн 15 декабря.

Программа курса

Информация по Хартли (двоичный логарифм количества возможных исходов).

Применения информационного подхода для решения задач о взвешиваниях (сортировки): нижняя оценка n log n для количества сравнений, необходимых для сортировки n чисел, оценка количества сравнений необходимых для нахождения фальшивой монетки (или радиоактивного элемента).

Применения информационного подхода в коммуникационной сложности: метод прямоугольников.

Распределения вероятностей на буквах данного алфавита (случайные величины со значениями в данном конечном множестве). Однозначные и префиксные бинарные коды букв данного алфавита. Средняя длина кода одной буквы.

Определение энтропии Шеннона и ее связь со средней длинной оптимального префиксного кода. Код Шеннона-Фано.

Неравенство Крафта-Макмиллана и нижняя оценка средней длины любого однозначного кода.

Реальные тексты, как марковские цепи небольшого порядка и верхняя оценка количества информации в них. Избыточность.

Пары совместно распределенных случайных величин с конечными множествами исходов. Неравенство для энтропии Шеннона пары.

Условная энтропия Шеннона и ее свойства.

Независимость и энтропия. Информация в одной случайной величине о другой. Коммутативность информации.

Игра по угадыванию исхода случайной величины. Стоимость инсайдерской информации и энтропия Шеннона. Использование экспертов и аггрегационный алгоритм Вовка.

Информационные неравенства. Базисные неравества и их следствия (шенноновские неравенства).

Близкие случайные величины и неравенство Фано.

Классификаторы и их информативность.

Теорема Шеннона о блочном кодировании (Shannon noiseless coding theorem).

Пропускная способность канала с шумом и теорема о блочном кодировании для каналов с шумом (без полного доказательтсва).

Передача информации при наличии исходной информации у потребителя. Теорема Вольфа-Слепяна (без полного доказательтсва).

Предсказание с использованием экспертов

PAC learning: нахождение значения одной одной случайной величины по известному значению другой при неизвестном заранее совместном распределении вероятностей. Размерность Вапника-Червоненкиса. Бустинг.

Сжатие информации и универсальные декомпрессоры. Количество информации в данном тексте (файле) по Колмогорову (колмогоровская сложность)

Свойства колмогоровской сложности: сложность не превосходит длины, сложность не увеличивается при алгоритмических преобразованиях, сложность невычислима, но перечислима сверху.

Количество слов малой сложности, несжимаемые слова.

Применения колмогоровской сложности для оценки времени работы алгоритмов (оценка количества шагов для копирования одноленточной машиной Тьюринга)

Условная колмогоровская сложность. Сложность пары слов и теорема Колмогорова-Левина.

Аналогия между колмогороской сложностью, шенноновской энтропией и информацией по Хартли.

Связь колмогоровской сложности и энтропии Шеннона: колмогоровская сложность слова, состоящего из последовательности независимых одинаково распределенных букв равна его энтропии Шеннона.

Подход Р. Соломонова к прогнозировании битов последовательности, случайной по данному неизвестному распределению вероятностей; универсальные предсказатели.

Прочитанные лекции

Лекция 1. (8 сентября)

Информация по Хартли в сообщении неизвестного исхода (двоичный логарифм количества возможных исходов). Информация в данном сообщении. Аддитивность информации при двух последовательных сообщениях. Применение информации по Хартли для получения верхних и нижних оценок в задачах сортировки (нижняя оценка для n монет, верхняя оценка для 5 монет) и поиска фальшивой монетки на чашечных весах (нижняя и верхняя оценка для n монет, верхняя оценка для 12 монет)

Лекция 2. (15 сентября)

Коммуникационные протоколы. Разбиение матрицы функции на прямоугольники. Метод трудных множеств, метод размера прямоугольников и метод ранга матрицы. Оценки этими методами коммуникационной сложности предикатов EQ, GT, DISJ, GT.

Лекция 3. (22 сентября)

Определение энтропии Шеннона. Задача о префиксном кодировании. Неравенство Крафта. Нижняя и верхняя оценки средней длины префиксного кода с помощью энтропии. Сбалансированные коды.

Лекция 4. (29 сентября)

Код Шеннона-Фано и арифметический код. Совместно распределенные случайные величины. Условная энтропия. Теорема об энтропии пары (она не превосходит суммы энтропий). Независимость и энтропия.

Лекция 5. (6 октября)

Теорема Макмиллана (на прошлой лекции её не было). Оценка среднего количества переданных бит в коммуникационных протоколах с помощью энтропии Шеннона. Условная энтропия и её свойства (она неотрицательна и не превосходит безусловной энтропии, она равна разности двух безусловных). Понятие количества информации и его свойства. Информационные неравенства: метод релятивизации, метод диаграмм. Общая информация тройки слов и пример, когда она отрицательна.

Лекция 6. (13 октября)

Еще раз об основных информационных неравенствах. Базисное неравенство, неравенство треугольника. Цепное правило. Марковская цепь и ее свойство.

Теорема Шеннона об идеальном шифре. Неравенство Фано. Неравенство Фано для классификаторов.

Лекция 7. (20 октября)

Неравенство Ромащенко-Каседа (для количества квадратов).

Количество слов с данными частотами. Сбалансированные слова и их количество. Кодирование, основанное на частотах диграмм. Оценки количества слов с данным набором диграмм.

Лекция 8. (27 октября)

Еще раз об оценке количества слов с данным набором диграмм. Стационарные источники. Теорема Шеннона о бесшумном канале.

Лекция 9. (3 ноября)

Теорема Вольфа-Слепяна. Каналы с шумом и их пропускная способность.

Лекция 10. (10 ноября)

Теорема Шеннона о канале с шумом. Игры по предсказанию битов данной последовательности. Мартингалы.

Лекция 11. (17 ноября)

Теорема об определении мартингалов стратегиями. Предсказания с экспертами. Случай логарифмического штрафа (ставки в казино) и случай единичного штрафа за ошибку.

Лекция 12. (24 ноября)

Выпуклые функции штрафа. Условие Блэквела. Линейный, полиномиальный и экспоненциальный предсказатели.

Лекция 13. (1 декабря)

PAC learning и размерность Вапника - Червоненкиса. Лемма Зауэра - Шелаха. Оценка качества эмпирически наилучшего предсказателя через количество концепций.

Лекция 14. (8 декабря)

Декомпрессоры. Колмогоровская сложность и теорема Колмогорова-Соломонова. Оценка на число слов колмогоровской сложности не больше n. Неубывание колмогоровской сложности при алгоритмических преобразований. Невычислимость колмогоровской сложности и теорема Геделя о неполноте в форме Чейтина.

Лекция 15. (15 декабря)

Сложность других конструктивных объектов. Неравенство для сложности пары. Условная сложность. Теорема Колмогорова - Левина о сложности пары. Количество информации. Его свойства. Релятивизация. Сложность и энтропия Шеннона. Теорема Ромащенко о совпадении классов неравенств.

Проведённые семинары

- Семинар 1** (8 сентября)

Упорядочивания камней. Отгадывания числа с разной ценой за ответ ДА и за ответ НЕТ. Отгадывание перестановки, если можно задавать вопросы, чему равен образ некоторого подмножества (на примере доски 8 на 8 и расстановки 64 чисел)

- Семинар 2** (15 сентября)

Ранги коммуникационных матриц предикатов IP и DISJ. Коммуникационная сложность матрицы смежности любого графа не меньше логарифма его хроматического числа.

- Семинар 3** (22 сентября)

Задача о мировой серии (две команды играют до 4 побед, по радио сообщают результаты всех матчей, чему равна энтропия этого сообщения?). Достаточное условие существования fix-free кодов (кодов, являющихся и префиксными, и суффиксными). Несбалансированность кода Хаффмана.

- Семинар 4** (29 сентября)

Неравенство $H(f(X)) \le H(X)$. Применение неравенства Крафта: коммуникационный протокол, находящий пересечение двух множеств размера не больше $n$, за $n\log_2 3$ битов. Онлайн-алгоритм построения префиксного кода.

- Семинар 5** (6 октября)

Алгоритм проверки общезначимости линейного неравенства от энтропий трех случайных величин и энтропий кортежей, составленных из них. Неравенство Шерера и его применения: неравенство Лумиса-Уитни, оценка числа треугольников в графе через число ребер. Обобщенное неравенство Шерера.

- Семинар 6** (13 октября)

Нематериализуемость условной энтропии. Оценка модуля разности энтропий двух распределений через статистическое расстояние при помощи неравенства Фано. Начало задачи про то, насколько можно сжать случайную строку, чтобы любую координату можно было восстановить с вероятностью 1/2 + \delta

- Семинар 7** (20 октября)

Неравенство H(\alpha, \beta)/2 \ge H(\beta|\alpha) для первой и второй буквы случайной биграммы. Задача на минимально возможную информативность классификатора при заданной точности и заданном покрытии.

- Семинар 8** (27 октября)

Еще одно применение неравенства Фано: чтобы каждую координату случайной строки можно было восстановить с вероятностью 1/2 + \delta, необходимо и достаточно сжать строку в 1/\delta^2 раз. Верхняя оценка покрытия классификатора при известной точности и информативности.

- Семинар 9** (3 ноября)

Задачи про хеш-функции. Пример на нахождение минимальной вероятности ошибки при кодирования одного бита в шумном канале. Пропускная способность бинарного симметричного канала. Различные соединения каналов.

- Семинар 10** (10 ноября)

Пропускная способность последовательного соединения двух каналов не превосходит минимума пропускных способностей соединяемых каналов и может быть меньше. Формула для пропускной способности прямой суммы двух каналов.

- Семинар 11** (17 ноября)

Полиномиальный алгоритм поиска номера данного слова в лексикографическом порядке среди всех слов с тем же буквенным составом. Задача о предсказывании последовательности с равным количеством нулей и единиц в случае единичного штрафа за ошибку. Предсказывание выпадений граней кубика с неравновероятными гранями.

- Семинар 12** (24 ноября)

Задача про подсчет количества слов с данным биграммным составом. Разные определения мартингалов. Любой мартингал можно переделать так, что если раньше мартингал был неограничен на каких-то последовательностях, то новый мартингал на тех же последовательностях стремится к бесконечности. Предсказывание граней кубика с равновероятными, но неравнозначными гранями.

- Семинар 13** (1 декабря)

VC-размерность семейства полупространств. VC-размерность семейства индикаторов прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными координатным осям. Изучение семейства индикаторов прямоугольников в модели PAC-learning

- Семинар 14** (8 декабря)

VC-размерность семейства конъюнкций. С какой точностью верно неравенство между сложностью пары и суммой сложностей? Максимальное время работы оптимального декомпрессора на входах длины не более n.

- Семинар 15** (15 декабря)

Колмогоровская сложность максимального времени работы оптимального декомпрессора на входах длины не более n (учитывая только те входы, на которых он останавливается) равна n + O(\log n). Самый сложный граф на n вершинах имеет цикл и является связным. Для любого оптимального декомпрессора количество кратчайших описаний у любого слова ограничено константой.

Материалы по курсу

Видеолекции

https://wiki.school.yandex.ru/shad/Videocollections2.0/FirstYear/videoInformationTheory/

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Cпециальный курс всех отделений, а также обязательный курс для студентов группы БПМИ156 ТИ на ФКН ВШЭ (правила получения оценки для учебной части ПМИ ФКН ВШЭ особые, они изложены
+Курс Теория информации проходит по пятницам в аудитории Кембридж ШАД Яндекса. Первая лекция 14 сентября.
-на [странице курса в ВШЭ].
-Проходит по пятницам в аудитории Кембридж. Первая лекция 8 сентября.
-Курс может сдаваться заочно за исключением того, что студентам группы БПМИ156 ТИ надо будет сдать коллоквиума (очно).
 **Лектор:** Николай Константинович Верещагин