Случайные процессы (зима 2023)
Содержание
О курсе
Случайные процессы -- широко используемый набор инструментов для моделирования во многих прикладных областях: финансовой математике, макроэкономике, физике. Эволюции цен, диффузия, потоки заявок для обработки, путешествие пользователя по ресурсам сети Интернет -- это лишь малая часть явлений, которые можно исследовать с их помощью. В нашем курсе мы хотели бы, с одной стороны, предоставить хороший фундамент для дальнейшего более самостоятельного изучения специальных областей, а с другой -- предоставить несколько интересных примеров, как связать это знание с компьютером и научиться не только доказывать интересные факты, но и смело строить решения практических задач в виде программ.
Контакты
Основные информационные ресурсы курса -- вики-страница и дискорд. Чтобы получить доступ к дискорду, отправьте письмо на maxkaledin@gmail.com, чтобы получить инвайт, или спросите своих одногруппников. Дискорд сейчас объединяет несколько поколений четверокурсников; там публикуются домашки, проводятся все обсуждения, собраны все ресурсы.
Максим Каледин, HDI Lab, T0926. Email: maxkaledin@gmail.com.
Дарья Демидова, HDI Lab, T0926. Email: demidova.math@gmail.com
Учебный план
Предусмотрены лекционные, семинарские занятия, 2 домашних задания. Все материалы курса можно найти в discord и частично здесь.
Пререквизиты
- Математический анализ 1-2
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей
- Программирование на Python, научные пакеты (numpy, sklearn,..) в плюс
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (самые основы и общее представление)
План по времени
С прошлого года есть программа экзамена и конспект, однако в этом году мы так же будем публиковать всё по частям, так как, вероятно, местами будем вносить какие-то существенные изменения.
Лекция 1. Напоминание теории вероятностей.
Лекция 2. Определение случайного процесса, его задание через конечномерные распределения, основные понятия (матожидание и моменты, стационарность в узком и широком смысле, ковариационная функция процесса), первые примеры. Гауссовские процессы.
Лекция 3. Цепи Маркова (кон. число состояний, дискретное время). Стационарное распределение, эргодическая теорема. Общие цепи Маркова (необязательное конечное число состояний, но время дискретно). Примеры.
Лекция 4. Винеровский процесс (Броуновское движение). Определение, конструкция, выбор п.н. непрерывной модификации. Ковариационная функция Винеровского процесса. Броуновский мост и его характеристики. Моменты Броуновского моста.
Лекция 5. Процессы на основе Винеровского. Процесс Орнштейна-Уленбека, Геометрическое Броуновское движение. Модель Блэка-Шоулза. Задача оценки опционов.
Лекция 6. Пуассоновские процессы, прикладные примеры. Моменты и ковариационная функция. Потоки заявок, системы массового обслуживания. Примеры реальных задач моделирования.
Лекция 7. Мартингалы. Моменты остановки. Разложение Дуба. Теорема о свободном выборе (optional stopping).
Лекция 8. Марковские процессы.
Лекция 9. Стохастический интеграл Ито, мотивация. Конструкция интеграла Ито. Формула Ито, теорема Ито об изометрии.
Лекция 10. Стохастические дифференциальные уравнения. Применение формулы Ито. Методы численного решения (методы Эйлера, Мильштейна, Рунге-Кутты). Процессы Кокса-Ингерсола-Росса и Хола-Уайта.
Домашние задания
ДЗ1 выдаётся после лекции 4, ДЗ2 -- после лекции 8.
Правила оценивания
В курсе предусмотрено 2 домашних задания, представляющих из себя Jupyter + Задачи на доказательство. ДЗ выдаётся на 2 недели, установлены почти мягкие дедлайны (-30% за просроченную неделю, 1неделя+ от дедлайна работы не принимаются). ДЗ 2022 года не актуальны, будут другие.
Экзамен устный: вопрос, задача, доп. вопросы. Программу опубликуем позже, похожа на 2022, но могут быть изменения.
Формула оценки
Оитог=0.6Онакоп + 0.4Оэкз,
Онакоп=0.5ДЗ1 + 0.5ДЗ2,
где ДЗ1 и ДЗ2 -- оценки за домашние задания (из 10 баллов), Оэкз -- оценка за ответ на экзамене. Округляется только Оитог, округление арифметическое.
Литература
1. Коралов Л.Б., Синай Я.Г. Теория вероятностей и случайные процессы, МЦНМО, 2014.
2. Øksendal B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2004, 10.1007/978-3-662-03185-8.
3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики (в двух томах), МЦНМО, 2016.
4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов, М: Физматлит, 2005.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения, М:Высшая школа, 2000.
