Просмотр исходного текста страницы Случайные процессы (зима 2022)

== О курсе ==

Случайные процессы -- широко используемый набор инструментов для моделирования во многих прикладных областях: финансовой математике, макроэкономике, физике. Эволюции цен, диффузия, потоки заявок для обработки, путешествие пользователя по ресурсам сети Интернет -- это лишь малая часть явлений, которые можно исследовать с их помощью. В нашем курсе мы хотели бы, с одной стороны,  предоставить хороший фундамент для дальнейшего более самостоятельного изучения специальных областей, а с другой -- предоставить несколько интересных примеров, как связать это знание с компьютером и научиться не только доказывать интересные факты, но и смело строить решения практических задач в виде программ.

=== Контакты ===

Основные информационные ресурсы курса -- вики-страница и дискорд. Чтобы получить доступ к дискорду, отправьте письмо на maxkaledin@gmail.com, чтобы получить инвайт, или спросите своих одногруппников.

''Максим Каледин'', HDI Lab, T0926. Email: maxkaledin@gmail.com.

''Дарья Демидова'', HDI Lab, T0926. Email: demidova.math@gmail.com

== Учебный план ==

Предусмотрены лекционные, семинарские занятия, 2 домашних задания. Все материалы курса лежат в dropbox и в discord.

=== Пререквизиты ===

- Математический анализ 1-2

- Линейная алгебра

- Теория вероятностей

- Алгоритмы и структуры данных, навыки программирования

- Обыкновенные дифференциальные уравнения


=== План по времени ===


'''Лекция 1.''' Напоминание теории вероятностей. [https://www.dropbox.com/s/s4dn0pa9z0dg9oq/Lecture1.pdf?dl=0 конспект лекции-семинара с доп. материалом]

'''Лекция 2.''' Определение случайного процесса, его задание через конечномерные распределения, основные понятия (матожидание и моменты, стационарность в узком и широком смысле, ковариационная функция процесса), первые примеры. Гауссовские процессы.

'''Лекция 3.''' Цепи Маркова (кон. число состояний, дискретное время). Стационарное распределение, эргодическая теорема. Общие цепи Маркова (необязательное конечное число состояний, но время дискретно). Примеры.

'''Лекция 4.''' Винеровский процесс (Броуновское движение). Определение, конструкция, выбор п.н. непрерывной модификации. Ковариационная функция Винеровского процесса. Броуновский мост и его характеристики. Моменты Броуновского моста.

'''Лекция 5.''' Процессы на основе Винеровского. Процесс Орнштейна-Уленбека, Геометрическое Броуновское движение. Модель Блэка-Шоулза. Задача оценки опционов.
 
'''Лекция 6.''' Пуассоновские процессы, прикладные примеры. Моменты и ковариационная функция. Потоки заявок, системы массового обслуживания. Примеры реальных задач моделирования.

'''Лекция 7.''' Марковские процессы.

'''Лекция 8.''' Мартингалы. Моменты остановки. Разложение Дуба. Теорема о свободном выборе (optional stopping).

'''Лекция 9.''' Стохастический интеграл Ито, мотивация. Конструкция интеграла Ито. Формула Ито, теорема Ито об изометрии.

'''Лекция 10.''' Стохастические дифференциальные уравнения. Применение формулы Ито. Методы численного решения (методы Эйлера, Мильштейна,  Рунге-Кутты). Процессы Кокса-Ингерсола-Росса и Хола-Уайта.

== Правила оценивания ==

В курсе предусмотрено 2 домашних задания, представляющих из себя Jupyter + Задачи на доказательство. ДЗ выдаётся на 2 недели, установлены мягкие дедлайны (-20% за каждую просроченную неделю, итоговая оценка не уменьшается ниже 20%). Первое ДЗ выдаётся в районе 10 февраля, второе -- примерно 24го февраля.

Экзамен устный: вопрос, задача, доп. вопросы.

=== Формула оценки ===


Оитог=0.6Онакоп + 0.4Оэкз,

Онакоп=0.5ДЗ1 + 0.5ДЗ2,

где ДЗ1 и ДЗ2 -- оценки за домашние задания (из 10 баллов), Оэкз -- оценка за ответ на экзамене. Округляется только Оитог, округление арифметическое.


== Литература ==


1. Коралов Л.Б., Синай Я.Г. Теория вероятностей и случайные процессы, МЦНМО, 2014.

2. Øksendal B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2004, 10.1007/978-3-662-03185-8.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики (в двух томах), МЦНМО, 2016.

4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов, М: Физматлит, 2005.

5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения, М:Высшая школа, 2000.