Символьные вычисления 23/24

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Версия от 16:19, 29 марта 2024; Yuliazaitseva (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

О курсе

Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.

Лектор — Зайцева Юлия Ивановна

Семинарист — Каледин Максим Львович

Ассистент — Преснова Екатерина Денисовна

Чат в телеграм: https://t.me/+qAC26bUGAj00ZTMy

Лекции

Лекции проходят по четвергам в 13:00 начиная с 7 марта.

Конспекты лекций 2023

Лекция 1 (20.01.2024) О курсе в целом. Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе.

Лекция 2 (27.01.2024) Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала.

Лекция 3 (03.02.2024) Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера.

Лекция 4 (10.02.2024) Алгоритм Бухбергера. Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие.

Лекция 5 (17.02.2024) Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях. Максимальный идеал. Слабая версия теоремы Гильберта о нулях.

Лекция 6 (24.02.2024) Теорема Гильберта о нулях (доказательство). Cooтветствие между максимальными идеалами и точками многообразия (формулировка). Морфизмы и изоморфизмы многообразий. Топологическое пространство. Топология Зарисского. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества.

Лекция 7 (02.03.2024) Неприводимые подмножества топологического пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты алгебраического многообразия. Восемь задач на применение базисов Грёбнера в теории систем полиномиальной уравнений, аффинной алгебраической геометрии и коммутативной алгебре.

Лекция 8 (07.03.2024) Характеристика поля. Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема о степени башни расширений. Теорема существования и единственности для конечных полей, конструкция через поле разложения и факторкольцо (формулировка). Неприводимые многочлены над конечным полем. Функция Мёбиуса и ее свойства. Аддитивная формула Мёбиуса и формула для числа неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Существование не менее одного неприводимого многочлена данной степени.

Лекция 9 (14.03.2024) Задача о разложении многочлена на неприводимые множители. Избавление от кратных множителей. f-разлагающие многочлены. Сведение к системе линейных уравнений: алгоритм Берлекэмпа.

Лекция 10 (21.03.2024) Коды, исправляющие ошибки. Основная задача теории кодирования. Линейные коды. Вес Хэмминга и минимальное расстояние. Порождающая и проверочная матрицы. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса для произвольного линейного кода. Коды Рида-Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Коды БЧХ и число исправляемых ими ошибок (формулировка).

Семинары

Семинары проходят по вторникам в 14:40.

Контрольные мероприятия

Домашние задания

Домашнее задание 1 доступно по ссылке, дедлайн 14 марта 23:59.

Домашнее задание 2 — доступно по ссылке, дедлайн 24 марта 23:59.

Контрольная работа

Контрольная работа прошла онлайн 22 марта в 16:00.

Экзамен

Прошёл онлайн 28 марта, 11:00-16:00 в устной форме, в каждом билете один вопрос из первой половины программы и один вопрос из второй половины программы.

Список вопросов к экзамену

Правила выставления оценок

Итоговая оценка вычисляется по формуле

Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),

где ДЗ1 – оценка за домашнее задание №1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание №2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.

Округление арифметическое.

Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются. Оценка на комиссии выставляется по результатам ответа без учета других элементов контроля.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература:

[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991

[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000

[3] Р.Лидл, Г.Нидеррайтер. Конечные поля, в 2-х т. М.: Мир, 1988

[4] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduate Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011

Рекомендуемая дополнительная литература:

[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994

[2] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019

[3] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003

[4] В.В.Прасолов. Многочлены. М.: МНЦМО, 2003

[5] А.Ромащенко, А.Румянцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017

[6] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009

[7] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993

[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005

[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996