Символьные вычисления 21/22

О курсе

Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.

Лектор — Аржанцев Иван Владимирович

Семинарист — Зайцева Юлия Ивановна

Ассистент — Попкович Александр

Лекции

Проходят по средам в 11:10.

Видеозаписи на Youtube

Лекция 1 (12.01.2022): Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене.

Лекция 2 (19.01.2022): Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера и его единственность.

Семинары

Проходят по субботам в 14:40.

Чат в телеграм: https://t.me/+Mxs1mQbQnSdmMzZi

Семинар 1 (15.01.2022): Идеалы в кольцах. Многочлены от одной переменной: деление с остатком, кольцо главных идеалов, наибольший общий делитель. Контрпримеры в случае нескольких переменных. Альтернативное доказательство леммы Гордана.

Семинар 2 (22.01.2022): Мономиальные порядки. Алгоритм деления на набор многочленов от нескольких переменных. Идеал старших членов, доказательство теоремы Гильберта о базисе через лемму Гордана. Базис Грёбнера, критерий Бухбергера, алгоритм Бухбергера, минимальный базис Грёбнера.

Контрольные мероприятия

Экзамен

Экзамен проводится в устной форме.

Правила выставления оценок

Итоговая оценка вычисляется по формуле

Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),

где ДЗ1 – оценка за домашнее задание № 1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание № 2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.

Округление арифметическое.

Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются. Оценка на комиссии выставляется по результатам ответа без учета других элементов контроля.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература:

[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991

[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000

[3] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduate Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011

Рекомендуемая дополнительная литература:

[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994

[2] Введение в криптографию. Под редакцией В.В.Ященко. М.: МЦНМО, 2012

[3] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019

[4] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003

[5] Н.Коблиц. Курс теории чисел и криптографии. М.; ТВП, 2001

[6] А.Ромащенко, А.Руменцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017

[7] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009

[8] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993

[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005

[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996