Матричные вычисления 20/21

О курсе

Курс по выбору для студентов для студентов 3 и 4 курса в 1-2 модулях.

Лектор: Рахуба Максим Владимирович

Лекции проходят на Покровке по вторникам в ауд. D510 (09:30 - 10:50)

Семинарист: Высоцкий Лев Игоревич

Семинары проходят онлайн по пятницам (13:00 - 14:20) Ссылка на регулярную Zoom-конференцию: https://zoom.us/j/91934043735

Полезные ссылки

Телеграм-канал курса: https://t.me/joinchat/AAAAAFkvC-gUnDmoK-YY2w

Телеграм-чат курса: https://t.me/joinchat/AiDEvBgUTMjcfkWpD8NMWA

Anytask курса: https://anytask.org/course/706

План курса

Лекции

1. Некоторые понятия матричного анализа

Матричные нормы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Разложение Шура. Нормальные матрицы. Матричные функции.

2. Малоранговое приближение матриц 1

Скелетное разложение матриц. Сингулярное разложение (SVD) и его основные свойства. Приближение матрицей меньшего ранга. CUR разложение.

3. Малоранговое приближение матриц 2 (0.5 лекции)

Приложения сингулярного разложения. Интерпретируемость CUR разложения и его приложения.

Малоранговое приближение многомерных массивов (0.5 лекции)

Кронекерово и тензорное произведения. Каноническое разложение многомерных массивов.

4. Малоранговое приближение многомерных массивов (0.5 лекции)

Разложение Таккера. Higher-order SVD (HOSVD). Приложения.

Вычислительные аспекты линейной алгебры 1 (0.5 лекции)

Представление чисел в компьютере. Обусловленность и вычислительная устойчивость.

5. Вычислительные аспекты линейной алгебры 2

Вычисление произведения матриц. Матрицы со специальной структурой: разреженные, тёплицевы матрицы, циркулянты, матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Пакеты программ для решения задач линейной алгебры.

6. Метод наименьших квадратов 1

QR разложение и способы его вычисления. Использование QR разложения для метода наименьших квадратов (МНК).

7. Метод наименьших квадратов 2 (0.5 лекции)

Псевдообратная матрица. Использование SVD разложения для МНК. Линейная регрессия. L1- и L2-регуляризации.

Прямые методы решения систем линейных уравнений 1

Теория возмущений и число обусловленности матрицы.

8. Прямые методы решения систем линейных уравнений 2

LU разложение, его связь с методом Гаусса. Ошибки округления и выбор ведущего элемента. Разложение Холецкого

9. Прямые методы решения систем линейных уравнений 3

Прямые методы решения больших разреженных систем линейных уравнений.

10. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 1

Метод простой итерации. Метод наискорейшего спуска и его недостатки. Метод итераций Чебышева.

11. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 2

Подпространства Крылова. Метод сопряженных градиентов.

12. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 3

Метод обобщенных минимальных невязок (GMRES). Предобуславливание.

13. Задача на собственные значения 1

Степенной метод и обратная итерация. Их применения для анализа графов. Метод Ланцоша.

14. Задача на собственные значения 2

QR алгоритм и его модификации. Методы вычисления сингулярного разложения.

Домашние задания

Домашнее задание 1 Основы матричного анализа

Выдается: 02.09.20 Дедлайн: 17.09.20 в 21:59

Контрольная работа

Проведение: предварительно - вторая неделя 2-го модуля

Экзамен

Устный экзамен в аудитории, разрешается пользоваться рукописным листком А4 при подготовке.

Итоговая оценка за курс

Итог = Округление(min(10, 0.4 * ДЗ + 0.1 * Б + 0.1 * ПР + 0.2 * КР + 0.3 * Э))

ДЗ –– средняя оценка за домашние задания Б –– средняя оценка за бонусные задачи в ДЗ ПР — средняя оценка за самостоятельные работы на семинарах КР –– оценка за контрольную работу (проводится в первой половине 2-го модуля) Э –– устный экзамен

Округление арифметическое

Автоматы не предусмотрены

Литература

1) Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations 4th Edition. The Johns Hopkins University Press. Baltimore.

2) Тыртышников, Е. Е. (2007). Методы численного анализа. Академия, Москва.

3) Trefethen, L. N., & Bau III, D. (1997). Numerical linear algebra. (Vol. 50). Siam. Philadelphia.