Математическое моделирование — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(III. Обыкновенные дифференциальные уравнения)
(III. Обыкновенные дифференциальные уравнения)
Строка 44: Строка 44:
 
# Скалярное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведение векторного линейного уравнения с постоянной матрицей к скалярному уравнению. Матричная экспонента и ее вычисление. (Другой подход: через приведение матрицы к жордановой нормальной форме.) Уравнение Эйлера и матричная степенная функция.   
 
# Скалярное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведение векторного линейного уравнения с постоянной матрицей к скалярному уравнению. Матричная экспонента и ее вычисление. (Другой подход: через приведение матрицы к жордановой нормальной форме.) Уравнение Эйлера и матричная степенная функция.   
 
# Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
 
# Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
# Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя. Классификация точек покоя 2-мерной системы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности обыкновенной точки. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя.
+
# Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя. Классификация точек покоя 2-мерной линейной системы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности обыкновенной точки. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя (при отсутствии резонансов).
 
# Устойчивость решения по Ляпунову. Характеристические показатели. Исследование устойчивости по первому приближению.  
 
# Устойчивость решения по Ляпунову. Характеристические показатели. Исследование устойчивости по первому приближению.  
 
# Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости.
 
# Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости.

Версия 22:43, 24 февраля 2021

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

  • методы построения моделей (в основном из физики),
  • точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
  • численные методы исследования моделей.

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

I. Введение в математическое моделирование

  1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару.
  2. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса.
  3. Примеры математических моделей.

II. Алгебраические уравнения

  1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
  2. Результант многочленов и исключение неизвестных.
  3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
  4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и ряд Лагранжа.
  5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
  6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение неявной функции в ряд Пюизо.
  7. Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).
  8. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.

Минимальные знания и навыки. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Гребнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационного метода Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения

  1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
  2. Система уравнений 1-го порядка и уравнение n-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных.
  3. Сведение к интегральному уравнению. Приближение по невязке и ломаные Эйлера. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения и метод последовательных приближений. Интегральное неравенство Гронуолла.
  4. Система линейных уравнений 1-го порядка. Линейное однородное уравнение. Фундаментальная матрица. Теорема Лиувилля об определителе. Понижение порядка в случае известных частных решений. Линейное неоднородное уравнение.
  5. Скалярное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведение векторного линейного уравнения с постоянной матрицей к скалярному уравнению. Матричная экспонента и ее вычисление. (Другой подход: через приведение матрицы к жордановой нормальной форме.) Уравнение Эйлера и матричная степенная функция.
  6. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
  7. Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя. Классификация точек покоя 2-мерной линейной системы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности обыкновенной точки. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя (при отсутствии резонансов).
  8. Устойчивость решения по Ляпунову. Характеристические показатели. Исследование устойчивости по первому приближению.
  9. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости.
  10. Система линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Теория Флоке. Уравнение Хилла. Уравнение Матье.
  11. Существование периодических решений. Предельный цикл. Теория Пуанкаре - Бендиксона. Уравнение Ван дер Поля. Уравнение Дуффинга.
  12. Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Уравнение типа Эмдена - Фаулера.
  13. Асимптотика системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. Метод Лиувилля для линейных уравнений 2-го порядка. Асимптотика функций Бесселя.
  14. Регулярная особая точка линейного уравнения. Разложение в окрестности регулярной особой точки. Уравнение Бесселя. Уравнение Лежандра.
  15. Уравнение с малым параметром. Регулярно возмущенное уравнение. Метод Пуанкаре. Уравнение Ван дер Поля.
  16. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.
  17. Численные методы решения ОДУ. Методы Рунге - Кутты. Методы Адамса. Методы интегрирования жестких задач.

Минимальные знания и навыки. Сведение скалярного уравнения n-го порядка к векторному уравнению 1-го порядка и обратно. Метод последовательных приближений для векторного уравнения 1-го порядка, асимптотика в окрестности начальной точки. Оценка нормы решения с помощью неравенства Гронуолла. Вычисление определителя фундаментальной матрицы с помощью теоремы Лиувилля. Понижение порядка скалярного линейного однородного уравнения и размерности векторного линейного однородного уравнения в случае известных решений. Решение линейного неоднородного уравнения при известном общем решении однородного. Общее решение линейного однородного уравнения (скалярного, векторного и матричного) с постоянными коэффициентами. Вычисление матричной экспоненты. Решение однородного уравнения Эйлера (скалярного, векторного и матричного) и вычисление матричной степенной функции.

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

1. Примеры

2. Линейное уравнение 1-го порядка

3. Задача Коши. Теорема Коши - Ковалевской. Метод мажорантного ряда

4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка

5. Уравнения 2-го порядка эллиптического типа. Гармонические функции. Уравнение Лапласа. Принцип максимума. Задача Дирихле. Задача Неймана.

6. Уравнение Лапласа в параллелепипеде, цилиндре, шаре. Разделение переменных.

7. Уравнение Пуассона

8. Уравнение 2-го порядка параболического типа.

V. Основы вариационного исчисления и оптимального управления

Занятия

Записи лекций и семинаров выкладываются в плейлист

Текущие оценки за доклады и вопросы к ним в гугл-таблице

Экзамен

На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.