Математическое моделирование — различия между версиями
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→О курсе) |
Emaevskiy (обсуждение | вклад) (→План курса) |
||
Строка 25: | Строка 25: | ||
1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular. | 1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular. | ||
− | 2 | + | 2. Результант многочленов и исключение неизвестных. |
− | 3. | + | 3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем. |
− | 4. | + | 4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и формула Лагранжа. |
− | 5. Численный подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Методы численного решения СЛАУ. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. | + | 5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера. |
+ | |||
+ | 6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо. | ||
+ | |||
+ | 7. Численный подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Методы численного решения СЛАУ. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. | ||
'''III. Обыкновенные дифференциальные уравнения''' | '''III. Обыкновенные дифференциальные уравнения''' | ||
Строка 37: | Строка 41: | ||
1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения. | 1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения. | ||
− | 2. Устойчивость решения по Ляпунову. | + | 2. Устойчивость решения по Ляпунову. Устойчивость по первому приближению. Показатели Ляпунова. |
+ | |||
+ | 3. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры). | ||
+ | |||
+ | 4. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова. | ||
+ | |||
+ | 5. Многоугольник Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения. | ||
+ | |||
+ | 6. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений. | ||
− | + | 7. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки. | |
− | + | 8. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки. | |
− | + | 9. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение. | |
− | + | 10. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова. | |
− | + | 11. Численные методы решения ОДУ. | |
'''IV. Элементы классической механики''' | '''IV. Элементы классической механики''' |
Версия 18:36, 21 января 2021
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- методы построения моделей (в основном из физики),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
I. Введение в математическое моделирование
1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей.
II. Алгебраические уравнения
1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
2. Результант многочленов и исключение неизвестных.
3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и формула Лагранжа.
5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.
7. Численный подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Методы численного решения СЛАУ. Методы численного решения системы нелинейных уравнений.
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
2. Устойчивость решения по Ляпунову. Устойчивость по первому приближению. Показатели Ляпунова.
3. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
4. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова.
5. Многоугольник Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения.
6. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений.
7. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки.
8. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки.
9. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение.
10. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.
11. Численные методы решения ОДУ.
IV. Элементы классической механики
1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа.
2. Функционал действия. Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа.
3. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.
V. Основы дифференциальной геометрии
VI. Дифференциальные уравнения в частных производных
VII. Элементы гидродинамики и теории упругости
VIII. Элементы электродинамики
IX. Элементы квантовой теории