Математический анализ - 2 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Модуль 2)
(Модуль 2)
Строка 288: Строка 288:
 
''' Лекция 2.3 ''' (10.11.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.3 ''' (10.11.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:3. [https://drive.google.com/file/d/1ktc1AAJIYYeN2DykAuD2eBrlfVyIkuLN/view?usp=sharing Основные свойства кратного интеграла]
+
:3. [https://drive.google.com/file/d/1ktc1AAJIYYeN2DykAuD2eBrlfVyIkuLN/view?usp=sharing Свойства интеграла как функционала]
  
 
::3.1 Линейность интеграла
 
::3.1 Линейность интеграла
Строка 304: Строка 304:
 
::3.7 Непрерывность интеграла
 
::3.7 Непрерывность интеграла
  
::3.8 Аддитивность интеграла
+
:4. Свойства интеграла как функции множества
  
::3.9 Мера, определяемая интегралом, и ее плотность
+
::4.1 Аддитивность интеграла
 
+
::3.10 Плотность меры в общем случае
+
 
+
::3.11 Выражение меры через ее плотность
+
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 316: Строка 312:
 
''' Лекция 2.4 ''' (17.11.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.4 ''' (17.11.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:4. [https://drive.google.com/file/d/107MyoL4NhTHbof2QsbpIQp4Yof9eNijz/view?usp=sharing Сведение кратного интеграла к повторному]
 
  
::4.1 Произведение мер
+
::4.2 Мера, определяемая интегралом, и ее плотность
  
::4.2 Интеграл по декартову произведению
+
::4.3 Плотность меры в общем случае
  
::4.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
+
::4.4 Выражение меры через ее плотность
  
::4.4 Интеграл по цилиндрической области
+
:5. [https://drive.google.com/file/d/107MyoL4NhTHbof2QsbpIQp4Yof9eNijz/view?usp=sharing Сведение кратного интеграла к повторному]
  
:5. Криволинейные координаты
+
::5.1 Произведение мер
  
::5.1 Полярные координаты
+
::5.2 Интеграл по декартову произведению
  
::5.2 Цилиндрические координаты
+
::5.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
  
::5.3 Сферические координаты
+
::5.4 Интеграл по цилиндрической области
 
+
::5.4 Ортогональная система координат
+
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 340: Строка 333:
 
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:6. Замена переменных в кратном интеграле
+
:6. Криволинейные координаты
  
::6.1 Линейное преобразование и преобразование объема
+
::6.1 Общие понятия
  
::6.2 Диффеоморфизм и преобразование объема
+
::6.2 Полярные координаты
  
::6.3 Внешнее умножение дифференциалов
+
::6.3 Цилиндрические координаты
 +
 
 +
::6.4 Сферические координаты
 +
 
 +
:7. Замена переменных в кратном интеграле
 +
 
 +
::7.1 Диффеоморфизм и его свойства
 +
 
 +
::7.2 Преобразование объема при диффеоморфизме
 +
 
 +
::7.3 Теорема о замене переменных
 +
 
 +
::7.4 Внешнее умножение дифференциалов
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 352: Строка 357:
 
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:7. Геометрические и физические приложения кратного интеграла
+
:8. Геометрические и физические приложения кратного интеграла
  
::7.1 Объем, ограниченный графиком
+
::8.1 Объем, ограниченный графиком
  
::7.2 Площадь поверхности
+
::8.2 Площадь поверхности
  
::7.3 Центр масс и теоремы Гульдина
+
::8.3 Центр масс и теоремы Гульдина
  
::7.4 Центр инерции
+
::8.4 Центр инерции
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 366: Строка 371:
 
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:8. Несобственный кратный интеграл
+
:9. Несобственный кратный интеграл
  
::8.1 Интеграл по неограниченному множеству
+
::9.1 Интеграл по неограниченному множеству
  
::8.2 Интеграл от неограниченной функции
+
::9.2 Интеграл от неограниченной функции
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 376: Строка 381:
 
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:9. Изопериметрическое неравенство
+
:10. Изопериметрическое неравенство
 +
 
 +
::10.1 Изопериметрическое неравенство на плоскости
 +
 
 +
::10.2 Неравенство Брунна - Минковского
 +
 
 +
::10.3 Изопериметрическое неравенство в общем случае
  
 
</div></div>
 
</div></div>

Версия 20:16, 10 ноября 2020

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа 193 195 196 197 198 199 1910 1911
Лектор Маевский Е.В.
Семинарист Колесниче́нко Е.Ю. Днестрян А.И. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Колесниче́нко Е.Ю. Томашевский С.В. Томашевский С.В.
Ассистент Вологодский Михаил Субхангулов Султан Лямзин Алексей Паузнер Илья Сухарьков Александр Семерова Елена Цыганов Артем Сухарьков Александр

Приемные часы

Преподаватель понедельник вторник среда четверг пятница
Маевский Евгений Валерьевич почта: emaevskiy@mail.ru или телеграм: @emaevskiy
Колесниче́нко Елена Юрьевна
Днестрян Андрей Игоревич
Томашевский Сергей Владимирович

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2020/2021 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы, интегралы с параметром, ряды и преобразование Фурье, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы комплексного анализа. Рассчитан на 2 семестра (4 модуля).

Лекции и коллоквиумы

О коллоквиумах

Вопросы к коллоквиуму - это теоретическая часть домашнего задания. В основном, это вопросы на знание формулировок и приведение примеров. Вопросы на доказательство включены только в том случае, когда: соответствующее рассуждение было показано на лекции или/и доказательство записывается в пару строк и требует не более нескольких минут времени.

По формату наш коллоквиум будет скорее выглядеть как письменный зачет по теории, а не как классический коллоквиум. Это объясняется тем, что я бы хотел для единообразия принять его у всех единолично. Но побеседовать со всеми студентами потока у меня, к сожалению, не получится чисто физически.

Формат коллоквиума (очно). Две части: первая и вторая. Первая часть (30 минут, 6 баллов). Письменно ответить на 2 вопроса: доказать утверждение (3 балла) и привести пример с обоснованием (3 балла). Вторая часть (10 минут, 4 балла). Письменно дать 2 определения (по 2 балла за каждое).

Формат коллоквиума (дистанционно). Тест из 20 вопросов на 30 минут. Выполняется на e-math.ru. Логины-пароли для входа будут высланы на личные e-mail. Просьба заранее проверить работоспособность паролей. Внимание! Вход на сайт только через браузер Mozilla Firefox.

О лекциях

Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры) необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.

Ссылка вида [Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.

Модуль 1

Лекция 1.1 (01.09.20) Видео

Лекция 1.4 (22.09.20) Видео

Лекция 1.5 (29.09.20) Видео

Лекция 1.6 (06.10.20) Видео

Лекция 1.7 (13.10.20) Видео

Десерт

Коллоквиум 1

Вопросы

Коллоквиум состоится 17 октября (суббота) в 16:20 (Московское время). Материал лекции 13.10 в него не войдет. Коллоквиум пройдет в дистанционном формате для всех групп. Дополнительные инструкции смотрите на почте.

Модуль 2

Лекция 2.1 (27.10.20) Видео

Лекция 2.2 (03.11.20) Видео

Лекция 2.3 (10.11.20) [ Видео]

Лекция 2.4 (17.11.20) [ Видео]

Лекция 2.5 (24.11.20) [ Видео]

Лекция 2.6 (01.12.20) [ Видео]

Лекция 2.7 (08.12.20) [ Видео]

Лекция 2.8 (15.12.20) [ Видео]

Коллоквиум 2

[ Вопросы]

Коллоквиум состоится ... Материал лекции 15.12 в него не войдет.

Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены

О домашних заданиях

К каждому семинару выдается список задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре, остальное - ДЗ.

Задачи со звездочками предназначены для интересующихся студентов. Эти задачи не проверяются и никак не учитываются.

О самостоятельных работах

На следующем семинаре проводится самостоятельная работа по темам предыдущего семинара. Каждому студенту предлагается решить 1 задачу, аналогичную задачам из списка. Самостоятельная оценивается по системе 0-1-2.

Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).

Об экзаменах

На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал в экзамены не входит.

Модуль 1

Семинар 1.1 Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Задачи

Семинар 1.2 Положительные ряды. Задачи

Семинар 1.3 Знакопеременные ряды. Задачи

Семинар 1.4 Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. Задачи

Семинар 1.5 Исследование сходимости функциональных рядов. Задачи

Семинар 1.6 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Задачи

Семинар 1.7 Итоговое повторение по темам модуля. Задачи - факультативно

Модуль 2

Семинар 2.1 Мера Жордана. Задачи

Семинар 2.2 Кратный интеграл Римана. Задачи

Семинар 2.3 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.4 Вычисление кратного интеграла. [ Задачи]

Семинар 2.5 Системы координат. Замена переменных в кратном интеграле. [ Задачи]

Семинар 2.6 Геометрические приложения кратного интеграла. [ Задачи]

Семинар 2.7 Несобственный кратный интеграл. [ Задачи]

Семинар 2.8 Итоговое повторение по темам модуля. [ Задачи]

Экзамен 1

Экзамен состоится ...

Ведомость с оценками

193 195 196 197 198 199 1910 1911

Формы контроля и оценивание

В течение года установлены следующие формы контроля:

  • 2 письменных экзамена (e1, e2 - 10-балльные оценки за экзамены);
  • 4 коллоквиума (k1, k2, k3, k4 - 10-балльные оценки за коллоквиумы);
  • некоторое число самостоятельных работ (s1, s2, s3, s4 - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале).

Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги.

Итоговая оценка 1-го семестра:

i1=0.125(s1+s2+k1+k2)+0.5e1

Если s1+s2+k1+k2≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e1=10.

Итоговая оценка 2-го семестра:

i2=0.125(s3+s4+k3+k4)+0.5e2

Если s3+s4+k3+k4≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=10.

Итоговая оценка за курс:

i=0.5(i1+i2)

(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

[Ф] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1969.

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).

[З] Зорич В.А. - Математический анализ, 2019

Часть 1 Часть 2

Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.

[Ш] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ, 1976.

Часть 1

Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.

[Д] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу, любое издание

Например, это

Классический задачник по математическому анализу. Если кто забыл о чем было в первой части курса анализа - вам сюда. Решайте задачи, повторяйте, тренируйтесь. Без уверенного владения матанализом-1 вы не освоите матанализ-2.

[С] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018

Обычно пользуюсь этим задачником при планировании семинарских занятий.