Математический анализ - 2 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Модуль 2)
(Модуль 3)
 
(не показана одна промежуточная версия этого же участника)
Строка 37: Строка 37:
 
=== О коллоквиумах ===
 
=== О коллоквиумах ===
  
Вопросы к коллоквиуму - это теоретическая часть домашнего задания. В основном, это вопросы на знание формулировок и приведение примеров. Вопросы на доказательство включены только в том случае, когда: соответствующее рассуждение было показано на лекции или/и доказательство записывается в пару строк и требует не более нескольких минут времени.  
+
Описанный ниже формат коллоквиума действует начиная с 3-го модуля. Информация о формате коллоквиумов 1-го и 2-го модулей удалена, т.к. перестала быть актуальной.
  
По формату наш коллоквиум будет скорее выглядеть как письменный зачет по теории, а не как классический коллоквиум. Это объясняется тем, что я бы хотел для единообразия принять его у всех единолично. Но побеседовать со всеми студентами потока у меня, к сожалению, не получится чисто физически.
+
Коллоквиум у нас - это письменный зачет по теории. Проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 60 минут. Теоретические задания включают в себя вопросы на формулировку определений, утверждений и доказательства. Каждое задание оценивается по системе 0-1-2-3-4 без дробных баллов. Затем баллы суммируются и сумма умножается на 5/6.
 
+
'''Формат коллоквиума (очно).''' Две части: первая и вторая. Первая часть (30 минут, 6 баллов). Письменно ответить на 2 вопроса: доказать утверждение (3 балла) и привести пример с обоснованием (3 балла). Вторая часть (10 минут, 4 балла). Письменно дать 2 определения (по 2 балла за каждое).
+
 
+
'''Формат коллоквиума (дистанционно).''' Тест из 20 вопросов на 30 минут. Выполняется на [http://e-math.ru e-math.ru]. Логины-пароли для входа будут высланы на личные e-mail. Просьба заранее проверить работоспособность паролей. Внимание! Вход на сайт только через браузер Mozilla Firefox.
+
  
 
=== О лекциях ===
 
=== О лекциях ===
Строка 49: Строка 45:
 
Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры)  необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.
 
Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры)  необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.
  
Ссылка вида [Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.
+
['''Ф'''123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.
 +
 
 +
['''З'''11.6] - это ссылка на главу 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.
  
 
=== Модуль 1 ===
 
=== Модуль 1 ===
Строка 60: Строка 58:
 
:1. Введение
 
:1. Введение
  
::1.1 Основные понятия [Ф362]
+
::1.1 Основные понятия ['''Ф'''362]
  
::1.2 Необходимое условие сходимости ряда [Ф364]
+
::1.2 Необходимое условие сходимости ряда ['''Ф'''364]
  
::1.3 Критерий Коши сходимости ряда [Ф376]
+
::1.3 Критерий Коши сходимости ряда ['''Ф'''376]
  
 
::1.4 Примеры
 
::1.4 Примеры
Строка 70: Строка 68:
 
:2. Положительные ряды
 
:2. Положительные ряды
  
::2.1 Введение [Ф365]
+
::2.1 Введение ['''Ф'''365]
  
::2.2 Признаки сравнения [Ф366]
+
::2.2 Признаки сравнения ['''Ф'''366]
  
::2.3 Отсутствие универсального ряда сравнения [Ф375]
+
::2.3 Отсутствие универсального ряда сравнения ['''Ф'''375]
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Строка 80: Строка 78:
 
''' Лекция 1.2 ''' (08.09.20) [https://www.youtube.com/watch?v=z1mie_jpCs0&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=4 Видео]
 
''' Лекция 1.2 ''' (08.09.20) [https://www.youtube.com/watch?v=z1mie_jpCs0&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=4 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
::2.4 [https://drive.google.com/file/d/169ArFgyTHlV-GG4cp8kFD3XsP1JkfLMn/view?usp=sharing Признак Лобачевского - Коши] [Ф375]
+
::2.4 [https://drive.google.com/file/d/169ArFgyTHlV-GG4cp8kFD3XsP1JkfLMn/view?usp=sharing Признак Лобачевского - Коши] ['''Ф'''375]
  
 
::2.5 [https://drive.google.com/file/d/1AwYuZXWftrl3qnnpZ62_E8V45H0Ya8ZZ/view?usp=sharing Оценка частичных сумм гармонического ряда]  
 
::2.5 [https://drive.google.com/file/d/1AwYuZXWftrl3qnnpZ62_E8V45H0Ya8ZZ/view?usp=sharing Оценка частичных сумм гармонического ряда]  
  
::2.6 [https://drive.google.com/file/d/1EJ0KG0hnRVSSM2A53sfZ8acV_kH2Owwq/view?usp=sharing Признак Даламбера и радикальный признак Коши] [Ф368]  
+
::2.6 [https://drive.google.com/file/d/1EJ0KG0hnRVSSM2A53sfZ8acV_kH2Owwq/view?usp=sharing Признак Даламбера и радикальный признак Коши] ['''Ф'''368]  
  
 
::2.7 [https://drive.google.com/file/d/1M0bP14-5Jx5bsQx6YjOFgzoXGzWpvXqS/view?usp=sharing Радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера]
 
::2.7 [https://drive.google.com/file/d/1M0bP14-5Jx5bsQx6YjOFgzoXGzWpvXqS/view?usp=sharing Радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера]
  
::2.8 [https://drive.google.com/file/d/1RAQ5iVXOTKoc9kLZu1GPv6w_HxzpYVMQ/view?usp=sharing Признак Гаусса] [Ф372]  
+
::2.8 [https://drive.google.com/file/d/1RAQ5iVXOTKoc9kLZu1GPv6w_HxzpYVMQ/view?usp=sharing Признак Гаусса] ['''Ф'''372]  
  
::2.9 [https://drive.google.com/file/d/1Nnjn5ao-A1SGSIx0yiHWefvANUg5aS-r/view?usp=sharing Сравнение с интегралом] [Ф373]  
+
::2.9 [https://drive.google.com/file/d/1Nnjn5ao-A1SGSIx0yiHWefvANUg5aS-r/view?usp=sharing Сравнение с интегралом] ['''Ф'''373]  
  
::2.10 [https://drive.google.com/file/d/1oGptUbdctZop4fEZZwRSuGdcMQF6tZ-X/view?usp=sharing Улучшение сходимости ряда] [Ф415]
+
::2.10 [https://drive.google.com/file/d/1oGptUbdctZop4fEZZwRSuGdcMQF6tZ-X/view?usp=sharing Улучшение сходимости ряда] ['''Ф'''415]
  
Дополнение. [https://drive.google.com/file/d/1Be9LdnGZiiXOwgEX7F6GQM1pbwwUmgxs/view?usp=sharing Теорема Штольца] [Ф33]
+
Дополнение. [https://drive.google.com/file/d/1Be9LdnGZiiXOwgEX7F6GQM1pbwwUmgxs/view?usp=sharing Теорема Штольца] ['''Ф'''33]
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Строка 324: Строка 322:
  
 
::5.2 Интеграл по декартову произведению
 
::5.2 Интеграл по декартову произведению
 
::5.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
 
 
::5.4 Интеграл по цилиндрической области
 
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 333: Строка 327:
 
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:6. Криволинейные координаты
+
::5.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
 +
 
 +
::5.4 Интеграл по цилиндрической области
 +
 
 +
:6. [https://drive.google.com/file/d/1UorRQeBK0y0OLRg5VPaF3YgBy2-HTXYt/view?usp=sharing Криволинейные координаты]
  
 
::6.1 Общие понятия
 
::6.1 Общие понятия
Строка 343: Строка 341:
 
::6.4 Сферические координаты
 
::6.4 Сферические координаты
  
:7. Замена переменных в кратном интеграле
+
:7. [https://drive.google.com/file/d/15TDQMKflemWgqDzZpTkT_qI81ercCYit/view?usp=sharing Замена переменных в кратном интеграле]
  
::7.1 Диффеоморфизм и его свойства
+
::7.1 Образ жорданова множества
 
+
::7.2 Преобразование объема при диффеоморфизме
+
 
+
::7.3 Теорема о замене переменных
+
 
+
::7.4 Внешнее умножение дифференциалов и ориентация области интегрирования
+
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 357: Строка 349:
 
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:8. Геометрические и физические приложения кратного интеграла
+
::7.2 Преобразование объема при диффеоморфизме
  
::8.1 Объем, ограниченный графиком
+
::7.3 Теорема о замене переменных
  
::8.2 Площадь поверхности
+
::7.4 Внешнее умножение дифференциалов и преобразование элемента объема
  
::8.3 Центр масс и теоремы Гульдина
+
:8. [https://drive.google.com/file/d/1UC4wegGedRxxkAfiAuOdJTkbuOrwfV8C/view?usp=sharing Геометрические приложения кратного интеграла]
  
::8.4 Центр инерции
+
::8.1 Объем, ограниченный графиком
  
 +
::8.2 Понятие площади поверхности (начало)
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:9. Несобственный кратный интеграл
+
::8.2 Понятие площади поверхности (продолжение)
  
::9.1 Интеграл по неограниченному множеству
+
::8.3 Независимость площади от параметризации
  
::9.2 Интеграл от неограниченной функции
+
::8.4 Частные случаи в малых размерностях
 +
 
 +
:9. [https://drive.google.com/file/d/1xF_PDUFaWQtjqseaH3DyOMbG089xWBdP/view?usp=sharing Несобственный кратный интеграл] ['''З'''11.6]
 +
 
 +
::9.1 Исчерпание множества
 +
 
 +
::9.2 Определение несобственного интеграла
 +
 
 +
::9.3 Несобственный интеграл от неотрицательной функции  
 +
 
 +
::9.4 Теорема об абсолютной сходимости ['''Ф'''613]
 +
 
 +
::9.5 Мажорантный признак сходимости
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Строка 381: Строка 386:
 
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [ Видео]
 
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [ Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:10. Изопериметрическое неравенство
+
:10. [https://drive.google.com/file/d/1ZQRlamU7-vXjqo6T2wZHzQufrG8Mcstw/view?usp=sharing Изопериметрическое неравенство]
  
::10.1 Изопериметрическое неравенство на плоскости
+
::10.1 Сумма множеств по Минковскому
  
 
::10.2 Неравенство Брунна - Минковского
 
::10.2 Неравенство Брунна - Минковского
  
::10.3 Длина кривой и площадь поверхности по Минковскому
+
::10.3 Площадь поверхности по Минковскому
  
::10.4 Изопериметрическое неравенство в общем случае
+
::10.4 Изопериметрическое неравенство
 
+
::10.5 Изодиаметрическое неравенство Бибербаха
+
  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
=== Коллоквиум 2 ===  
 
=== Коллоквиум 2 ===  
 +
 +
[https://drive.google.com/file/d/1sk9CFyC1huc6gmVwcwq4x-DDzbah8Scn/view?usp=sharing Вопросы]
 +
 +
Коллоквиум состоится 19.12 (суббота) в 11:10. Формат коллоквиума - дистанционный. Материал лекции 15.12 в него не войдет.
 +
 +
=== Модуль 3 ===
 +
 +
''' Лекция 3.1 ''' (12.01.21)
 +
 +
'''III. Интегралы, зависящие от параметра'''
 +
:1. Собственный интеграл с параметром и его свойства ['''З'''17.1]
 +
 +
''' Лекция 3.2 ''' (19.01.21)
 +
:2. Равномерная сходимость семейства функций ['''З'''16.1]
 +
 +
:3. Свойства равномерно сходящегося семейства функций ['''З'''16.3]
 +
 +
''' Лекция 3.3 ''' (26.01.21)
 +
:4. Равномерная сходимость несобственного интеграла ['''З'''17.2]
 +
 +
''' Лекция 3.4 ''' (02.02.21)
 +
:5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла ['''З'''17.2]
 +
 +
''' Лекция 3.5 ''' (09.02.21)
 +
:5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла ['''З'''17.2] (продолжение)
 +
 +
''' Лекция 3.6 ''' (16.02.21)
 +
:6. Эйлеровы бета- и гамма-функции
 +
 +
''' Лекция 3.7 ''' (02.03.21)
 +
:7. Ряды Фурье
 +
 +
''' Лекция 3.8 ''' (09.03.21)
 +
:7. Ряды Фурье (продолжение)
 +
 +
''' Лекция 3.9 ''' (16.03.21)
 +
 +
''' Лекция 3.10 ''' (23.03.21)
 +
 +
=== Коллоквиум 3 ===
  
 
[ Вопросы]
 
[ Вопросы]
  
Коллоквиум состоится ... Материал лекции 15.12 в него не войдет.
+
Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал лекции 23.03 в него не войдет.
  
 
== Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены ==
 
== Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены ==
Строка 417: Строка 460:
 
=== Об экзаменах ===
 
=== Об экзаменах ===
  
На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал в экзамены не входит.
+
На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамены не входит.
 +
 
 +
Демонстрационные варианты экзамена показывают примерный уровень сложности заданий и их примерное распределение по темам. Не следует думать, что задания экзаменационных вариантов обязательно будут таких же типов.
  
 
=== Модуль 1 ===
 
=== Модуль 1 ===
Строка 445: Строка 490:
  
 
''' Семинар 2.1 '''  
 
''' Семинар 2.1 '''  
Мера Жордана. [https://drive.google.com/file/d/1wnu5GBZyl1_gg25AbnID3Lb0uN4g4OAw/view?usp=sharing Задачи]
+
Мера Жордана. [https://drive.google.com/file/d/1wnu5GBZyl1_gg25AbnID3Lb0uN4g4OAw/view?usp=sharing Теоретические задачи]
  
 
''' Семинар 2.2 '''
 
''' Семинар 2.2 '''
Кратный интеграл Римана. [https://drive.google.com/file/d/1ApiMiFLy40cGulw-VYhLgtJoQ5jTyJGd/view?usp=sharing Задачи]
+
Кратный интеграл Римана. [https://drive.google.com/file/d/1ApiMiFLy40cGulw-VYhLgtJoQ5jTyJGd/view?usp=sharing Теоретические задачи]
  
 
''' Семинар 2.3 '''  
 
''' Семинар 2.3 '''  
Строка 457: Строка 502:
  
 
''' Семинар 2.5 '''  
 
''' Семинар 2.5 '''  
Системы координат. Замена переменных в кратном интеграле. [ Задачи]
+
Замена переменных в кратном интеграле. [https://drive.google.com/file/d/1dk-R2NRuasMa8ABvUUsGrRMIAhLFDWVN/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.6 '''  
 
''' Семинар 2.6 '''  
Геометрические приложения кратного интеграла. [ Задачи]
+
Геометрические приложения кратного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/1ojG2S7n_YdKjtYkxgUEXNYF_3jezTyA-/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.7 '''  
 
''' Семинар 2.7 '''  
Несобственный кратный интеграл. [ Задачи]
+
Несобственный кратный интеграл. [https://drive.google.com/file/d/1-EIflY12zmieoQEC6XmtqgChSwMzhDEM/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.8 '''  
 
''' Семинар 2.8 '''  
Итоговое повторение по темам модуля. [ Задачи]
+
Итоговое повторение по темам модуля и семестра.
  
 
=== Экзамен 1 ===
 
=== Экзамен 1 ===
  
Экзамен состоится ...
+
Экзамен состоится 24 декабря в 14:00. Формат: 6 вычислительных задач на 90 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: '''группа_Фамилия_Имя''', например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2. Показ работ: по согласованию с семинаристом.
 +
 
 +
Тематическое распределение заданий:
 +
# Исследование числового ряда на сходимость или абсолютную сходимость
 +
# Исследование функционального ряда на равномерную сходимость
 +
# Вычисление области сходимости степенного ряда
 +
# Замена переменных в кратном интеграле
 +
# Вычисление объема тела или площади поверхности
 +
# Исследование сходимости несобственного кратного интеграла
 +
 
 +
[https://drive.google.com/file/d/1RFtSlDpUq1Lstn3EvbHZwJGd8tWkeUIV/view?usp=sharing Демо-варианты экзамена]
 +
 
 +
=== Модуль 3 ===
 +
 
 +
''' Семинар 3.1 ''' Собственный интеграл, зависящий от параметра.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1Y3QyHWwQmmBDM3R9VaDVocI7xSj0hMn4/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.2 ''' Равномерная сходимость системы функций.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1NXWKueqb_48xfs6OQhMwSW9KNAHCHO_Y/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.3 ''' Равномерная сходимость несобственного интеграла.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1JEp0LOIHlhXf5CO-2hnLkRFfIFRj7QDi/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.4 ''' Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
 +
[https://drive.google.com/file/d/19kxPaSSdcB3zUmfe-Gyt8FSW6Ly0OoxC/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.5 ''' Дифференцирование под знаком несобственного интеграла.
 +
[https://drive.google.com/file/d/14Avpryc-LAQjiCuy37j2OMsri4z1MmDJ/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.6 ''' Эйлеровы интегралы.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1OkPEGAXzQh1bfFIJ225sXQCPG8CsrItS/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.7 ''' Ряды Фурье.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1FjKzXQ6ffp4PZWZYPMNOnCh-RQA6zN-0/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.8 ''' Ряды Фурье.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1UsMyL9VS5QPhsjTb0yCGPGMkUluUPH0i/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.9 ''' Преобразование Фурье.
 +
[ Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.10 ''' Коллоквиум-3
  
 
== Ведомость с оценками ==
 
== Ведомость с оценками ==
Строка 489: Строка 575:
  
 
Итоговая оценка 1-го семестра:
 
Итоговая оценка 1-го семестра:
<blockquote><b>i</b><sub>1</sub>=0.125(<b>s</b><sub>1</sub>+<b>s</b><sub>2</sub>+<b>k</b><sub>1</sub>+<b>k</b><sub>2</sub>)+0.5<b>e</b><sub>1</sub></blockquote>
+
<blockquote>
Если <b>s</b><sub>1</sub>+<b>s</b><sub>2</sub>+<b>k</b><sub>1</sub>+<b>k</b><sub>2</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>1</sub>=10.
+
<b>i</b><sub>1</sub>=0.125<b>n</b><sub>1</sub>+0.5<b>e</b><sub>1</sub>,
 +
где <b>n</b><sub>1</sub>=<b>s</b><sub>1</sub>+<b>s</b><sub>2</sub>+<b>k</b><sub>1</sub>+<b>k</b><sub>2</sub>
 +
</blockquote>
 +
 
 +
Если <b>n</b><sub>1</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>1</sub>=10.
 +
 
 +
Если 38&gt;<b>n</b><sub>1</sub>≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>1</sub>=0.25<b>n</b><sub>1</sub> (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.
  
 
Итоговая оценка 2-го семестра:
 
Итоговая оценка 2-го семестра:
<blockquote><b>i</b><sub>2</sub>=0.125(<b>s</b><sub>3</sub>+<b>s</b><sub>4</sub>+<b>k</b><sub>3</sub>+<b>k</b><sub>4</sub>)+0.5<b>e</b><sub>2</sub></blockquote>
+
<blockquote>
Если <b>s</b><sub>3</sub>+<b>s</b><sub>4</sub>+<b>k</b><sub>3</sub>+<b>k</b><sub>4</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>2</sub>=10.
+
<b>i</b><sub>2</sub>=0.125<b>n</b><sub>2</sub>+0.5<b>e</b><sub>2</sub>,
 +
где <b>n</b><sub>2</sub>=<b>s</b><sub>3</sub>+<b>s</b><sub>4</sub>+<b>k</b><sub>3</sub>+<b>k</b><sub>4</sub>
 +
</blockquote>
 +
 
 +
Если <b>n</b><sub>2</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>2</sub>=10.
 +
 
 +
Если 38&gt;<b>n</b><sub>2</sub>≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>2</sub>=0.25<b>n</b><sub>2</sub> (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.
  
 
Итоговая оценка за курс:
 
Итоговая оценка за курс:
<blockquote><b>i</b>=0.5(<b>i</b><sub>1</sub>+<b>i</b><sub>2</sub>)</blockquote>
+
<blockquote><b>i</b>=0.5(<b>i</b><sub>1</sub> + <b>i</b><sub>2</sub>)</blockquote>
 
(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)
 
(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)
  
Строка 503: Строка 601:
  
 
== Список рекомендуемой литературы ==
 
== Список рекомендуемой литературы ==
 +
 +
=== Учебники ===
  
 
['''Ф'''] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969
 
['''Ф'''] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969
Строка 524: Строка 624:
  
 
Пользовался этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.
 
Пользовался этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.
 +
 +
['''МП'''] Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. - Лекции по вещественному анализу. 2011
 +
 +
Математический анализ, основанный на теории меры и интеграла Лебега. Эта книга не имеет непосредственного отношения к нашему курсу.
 +
Но, учитывая желательность знакомства с теорией Лебега для некоторых разделов математики (ряды и интегралы Фурье, теория вероятностей, дифференциальные уравнения, функциональный анализ), рекомендую ее для продвинутых студентов. В книге много вкусностей (например: мера и размерность по Хаусдорфу, изопериметрическое неравенство). Также рекомендую задачник тех же авторов.
  
 
['''Ш'''] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ. 1976
 
['''Ш'''] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ. 1976
Строка 530: Строка 635:
  
 
Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.
 
Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.
 +
 +
=== Задачники ===
  
 
['''Д'''] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание
 
['''Д'''] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание

Текущая версия на 18:32, 3 марта 2021

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа 193 195 196 197 198 199 1910 1911
Лектор Маевский Е.В.
Семинарист Колесниче́нко Е.Ю. Днестрян А.И. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Колесниче́нко Е.Ю. Томашевский С.В. Томашевский С.В.
Ассистент Вологодский Михаил Субхангулов Султан Лямзин Алексей Паузнер Илья Сухарьков Александр Семерова Елена Цыганов Артем Сухарьков Александр

Приемные часы

Преподаватель понедельник вторник среда четверг пятница
Маевский Евгений Валерьевич почта: emaevskiy@mail.ru или телеграм: @emaevskiy
Колесниче́нко Елена Юрьевна
Днестрян Андрей Игоревич
Томашевский Сергей Владимирович

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2020/2021 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы, интегралы с параметром, ряды и преобразование Фурье, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы комплексного анализа. Рассчитан на 2 семестра (4 модуля).

Лекции и коллоквиумы

О коллоквиумах

Описанный ниже формат коллоквиума действует начиная с 3-го модуля. Информация о формате коллоквиумов 1-го и 2-го модулей удалена, т.к. перестала быть актуальной.

Коллоквиум у нас - это письменный зачет по теории. Проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 60 минут. Теоретические задания включают в себя вопросы на формулировку определений, утверждений и доказательства. Каждое задание оценивается по системе 0-1-2-3-4 без дробных баллов. Затем баллы суммируются и сумма умножается на 5/6.

О лекциях

Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры) необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.

[Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.

[З11.6] - это ссылка на главу 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.

Модуль 1

Лекция 1.1 (01.09.20) Видео

Лекция 1.4 (22.09.20) Видео

Лекция 1.5 (29.09.20) Видео

Лекция 1.6 (06.10.20) Видео

Лекция 1.7 (13.10.20) Видео

Десерт

Коллоквиум 1

Вопросы

Коллоквиум состоится 17 октября (суббота) в 16:20 (Московское время). Материал лекции 13.10 в него не войдет. Коллоквиум пройдет в дистанционном формате для всех групп. Дополнительные инструкции смотрите на почте.

Модуль 2

Лекция 2.1 (27.10.20) Видео

Лекция 2.2 (03.11.20) Видео

Лекция 2.3 (10.11.20) [ Видео]

Лекция 2.4 (17.11.20) [ Видео]

Лекция 2.5 (24.11.20) [ Видео]

Лекция 2.6 (01.12.20) [ Видео]

Лекция 2.7 (08.12.20) [ Видео]

Лекция 2.8 (15.12.20) [ Видео]

Коллоквиум 2

Вопросы

Коллоквиум состоится 19.12 (суббота) в 11:10. Формат коллоквиума - дистанционный. Материал лекции 15.12 в него не войдет.

Модуль 3

Лекция 3.1 (12.01.21)

III. Интегралы, зависящие от параметра

1. Собственный интеграл с параметром и его свойства [З17.1]

Лекция 3.2 (19.01.21)

2. Равномерная сходимость семейства функций [З16.1]
3. Свойства равномерно сходящегося семейства функций [З16.3]

Лекция 3.3 (26.01.21)

4. Равномерная сходимость несобственного интеграла [З17.2]

Лекция 3.4 (02.02.21)

5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла [З17.2]

Лекция 3.5 (09.02.21)

5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла [З17.2] (продолжение)

Лекция 3.6 (16.02.21)

6. Эйлеровы бета- и гамма-функции

Лекция 3.7 (02.03.21)

7. Ряды Фурье

Лекция 3.8 (09.03.21)

7. Ряды Фурье (продолжение)

Лекция 3.9 (16.03.21)

Лекция 3.10 (23.03.21)

Коллоквиум 3

[ Вопросы]

Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал лекции 23.03 в него не войдет.

Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены

О домашних заданиях

К каждому семинару выдается список задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре, остальное - ДЗ.

Задачи со звездочками предназначены для интересующихся студентов. Эти задачи не проверяются и никак не учитываются.

О самостоятельных работах

На следующем семинаре проводится самостоятельная работа по темам предыдущего семинара. Каждому студенту предлагается решить 1 задачу, аналогичную задачам из списка. Самостоятельная оценивается по системе 0-1-2.

Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).

Об экзаменах

На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамены не входит.

Демонстрационные варианты экзамена показывают примерный уровень сложности заданий и их примерное распределение по темам. Не следует думать, что задания экзаменационных вариантов обязательно будут таких же типов.

Модуль 1

Семинар 1.1 Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Задачи

Семинар 1.2 Положительные ряды. Задачи

Семинар 1.3 Знакопеременные ряды. Задачи

Семинар 1.4 Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. Задачи

Семинар 1.5 Исследование сходимости функциональных рядов. Задачи

Семинар 1.6 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Задачи

Семинар 1.7 Итоговое повторение по темам модуля. Задачи - факультативно

Модуль 2

Семинар 2.1 Мера Жордана. Теоретические задачи

Семинар 2.2 Кратный интеграл Римана. Теоретические задачи

Семинар 2.3 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.4 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.5 Замена переменных в кратном интеграле. Задачи

Семинар 2.6 Геометрические приложения кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.7 Несобственный кратный интеграл. Задачи

Семинар 2.8 Итоговое повторение по темам модуля и семестра.

Экзамен 1

Экзамен состоится 24 декабря в 14:00. Формат: 6 вычислительных задач на 90 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: группа_Фамилия_Имя, например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2. Показ работ: по согласованию с семинаристом.

Тематическое распределение заданий:

  1. Исследование числового ряда на сходимость или абсолютную сходимость
  2. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость
  3. Вычисление области сходимости степенного ряда
  4. Замена переменных в кратном интеграле
  5. Вычисление объема тела или площади поверхности
  6. Исследование сходимости несобственного кратного интеграла

Демо-варианты экзамена

Модуль 3

Семинар 3.1 Собственный интеграл, зависящий от параметра. Задачи

Семинар 3.2 Равномерная сходимость системы функций. Задачи

Семинар 3.3 Равномерная сходимость несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.4 Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.5 Дифференцирование под знаком несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.6 Эйлеровы интегралы. Задачи

Семинар 3.7 Ряды Фурье. Задачи

Семинар 3.8 Ряды Фурье. Задачи

Семинар 3.9 Преобразование Фурье. [ Задачи]

Семинар 3.10 Коллоквиум-3

Ведомость с оценками

193 195 196 197 198 199 1910 1911

Формы контроля и оценивание

В течение года установлены следующие формы контроля:

  • 2 письменных экзамена (e1, e2 - 10-балльные оценки за экзамены);
  • 4 коллоквиума (k1, k2, k3, k4 - 10-балльные оценки за коллоквиумы);
  • некоторое число самостоятельных работ (s1, s2, s3, s4 - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале).

Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги.

Итоговая оценка 1-го семестра:

i1=0.125n1+0.5e1, где n1=s1+s2+k1+k2

Если n1≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e1=10.

Если 38>n1≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e1=0.25n1 (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.

Итоговая оценка 2-го семестра:

i2=0.125n2+0.5e2, где n2=s3+s4+k3+k4

Если n2≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=10.

Если 38>n2≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=0.25n2 (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.

Итоговая оценка за курс:

i=0.5(i1 + i2)

(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

Учебники

[Ф] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).

[З] Зорич В.А. - Математический анализ. 2019

Часть 1 Часть 2

Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.

[Шл] Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. 1972

[ Части 1-2]

Пользовался этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.

[МП] Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. - Лекции по вещественному анализу. 2011

Математический анализ, основанный на теории меры и интеграла Лебега. Эта книга не имеет непосредственного отношения к нашему курсу. Но, учитывая желательность знакомства с теорией Лебега для некоторых разделов математики (ряды и интегралы Фурье, теория вероятностей, дифференциальные уравнения, функциональный анализ), рекомендую ее для продвинутых студентов. В книге много вкусностей (например: мера и размерность по Хаусдорфу, изопериметрическое неравенство). Также рекомендую задачник тех же авторов.

[Ш] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ. 1976

Часть 1

Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.

Задачники

[Д] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание

Например, это

Классический задачник по математическому анализу. Если кто забыл о чем было в первой части курса анализа - вам сюда. Решайте задачи, повторяйте, тренируйтесь. Без уверенного владения матанализом-1 вы не освоите матанализ-2.

[С] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018

Обычно пользуюсь этим задачником при планировании семинарских занятий.