Математический анализ - 2 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Модуль 2)
(Экзамен 2)
 
(не показано 116 промежуточных версии 3 участников)
Строка 5: Строка 5:
 
! Группа !! 193 !! 195 !! 196 !! 197 !! 198 !! 199 !! 1910 !! 1911
 
! Группа !! 193 !! 195 !! 196 !! 197 !! 198 !! 199 !! 1910 !! 1911
 
|-
 
|-
|| Лектор ||colspan="7"| [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.]
+
|| Лектор ||colspan="8"| [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.]
 
|-  
 
|-  
 
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/309076802 Колесниче́нко Е.Ю.] || [https://www.hse.ru/org/persons/224876101 Днестрян А.И.] || [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.] || [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.] || [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.] || [https://www.hse.ru/org/persons/309076802 Колесниче́нко Е.Ю.] || Томашевский С.В. || Томашевский С.В.
 
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/309076802 Колесниче́нко Е.Ю.] || [https://www.hse.ru/org/persons/224876101 Днестрян А.И.] || [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.] || [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.] || [https://www.hse.ru/org/persons/307981475 Маевский Е.В.] || [https://www.hse.ru/org/persons/309076802 Колесниче́нко Е.Ю.] || Томашевский С.В. || Томашевский С.В.
Строка 37: Строка 37:
 
=== О коллоквиумах ===
 
=== О коллоквиумах ===
  
Вопросы к коллоквиуму - это теоретическая часть домашнего задания. В основном, это вопросы на знание формулировок и приведение примеров. Вопросы на доказательство включены только в том случае, когда: соответствующее рассуждение было показано на лекции или/и доказательство записывается в пару строк и требует не более нескольких минут времени.  
+
Описанный ниже формат коллоквиума действует начиная с 3-го модуля. Информация о формате коллоквиумов 1-го и 2-го модулей удалена, т.к. перестала быть актуальной.
  
По формату наш коллоквиум будет скорее выглядеть как письменный зачет по теории, а не как классический коллоквиум. Это объясняется тем, что я бы хотел для единообразия принять его у всех единолично. Но побеседовать со всеми студентами потока у меня, к сожалению, не получится чисто физически.
+
Коллоквиум у нас - это письменный зачет по теории. Проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 80 минут. Теоретические задания включают в себя вопросы на формулировку определений, утверждений и доказательства. Каждое задание оценивается по системе 0-1-2-3-4 без дробных баллов. Затем баллы суммируются и сумма умножается на 5/6.
 
+
'''Формат коллоквиума (очно).''' Две части: первая и вторая. Первая часть (30 минут, 6 баллов). Письменно ответить на 2 вопроса: доказать утверждение (3 балла) и привести пример с обоснованием (3 балла). Вторая часть (10 минут, 4 балла). Письменно дать 2 определения (по 2 балла за каждое).
+
 
+
'''Формат коллоквиума (дистанционно).''' Тест из 20 вопросов на 30 минут. Выполняется на [http://e-math.ru e-math.ru]. Логины-пароли для входа будут высланы на личные e-mail. Просьба заранее проверить работоспособность паролей. Внимание! Вход на сайт только через браузер Mozilla Firefox.
+
  
 
=== О лекциях ===
 
=== О лекциях ===
Строка 49: Строка 45:
 
Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры)  необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.
 
Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры)  необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.
  
Ссылка вида [Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.
+
['''Ф'''123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.
 +
 
 +
['''З'''11.6] - это ссылка на главу 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.
  
 
=== Модуль 1 ===
 
=== Модуль 1 ===
Строка 60: Строка 58:
 
:1. Введение
 
:1. Введение
  
::1.1 Основные понятия [Ф362]
+
::1.1 Основные понятия ['''Ф'''362]
  
::1.2 Необходимое условие сходимости ряда [Ф364]
+
::1.2 Необходимое условие сходимости ряда ['''Ф'''364]
  
::1.3 Критерий Коши сходимости ряда [Ф376]
+
::1.3 Критерий Коши сходимости ряда ['''Ф'''376]
  
 
::1.4 Примеры
 
::1.4 Примеры
Строка 70: Строка 68:
 
:2. Положительные ряды
 
:2. Положительные ряды
  
::2.1 Введение [Ф365]
+
::2.1 Введение ['''Ф'''365]
  
::2.2 Признаки сравнения [Ф366]
+
::2.2 Признаки сравнения ['''Ф'''366]
  
::2.3 Отсутствие универсального ряда сравнения [Ф375]
+
::2.3 Отсутствие универсального ряда сравнения ['''Ф'''375]
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Строка 80: Строка 78:
 
''' Лекция 1.2 ''' (08.09.20) [https://www.youtube.com/watch?v=z1mie_jpCs0&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=4 Видео]
 
''' Лекция 1.2 ''' (08.09.20) [https://www.youtube.com/watch?v=z1mie_jpCs0&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=4 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
::2.4 [https://drive.google.com/file/d/169ArFgyTHlV-GG4cp8kFD3XsP1JkfLMn/view?usp=sharing Признак Лобачевского - Коши] [Ф375]
+
::2.4 [https://drive.google.com/file/d/169ArFgyTHlV-GG4cp8kFD3XsP1JkfLMn/view?usp=sharing Признак Лобачевского - Коши] ['''Ф'''375]
  
 
::2.5 [https://drive.google.com/file/d/1AwYuZXWftrl3qnnpZ62_E8V45H0Ya8ZZ/view?usp=sharing Оценка частичных сумм гармонического ряда]  
 
::2.5 [https://drive.google.com/file/d/1AwYuZXWftrl3qnnpZ62_E8V45H0Ya8ZZ/view?usp=sharing Оценка частичных сумм гармонического ряда]  
  
::2.6 [https://drive.google.com/file/d/1EJ0KG0hnRVSSM2A53sfZ8acV_kH2Owwq/view?usp=sharing Признак Даламбера и радикальный признак Коши] [Ф368]  
+
::2.6 [https://drive.google.com/file/d/1EJ0KG0hnRVSSM2A53sfZ8acV_kH2Owwq/view?usp=sharing Признак Даламбера и радикальный признак Коши] ['''Ф'''368]  
  
 
::2.7 [https://drive.google.com/file/d/1M0bP14-5Jx5bsQx6YjOFgzoXGzWpvXqS/view?usp=sharing Радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера]
 
::2.7 [https://drive.google.com/file/d/1M0bP14-5Jx5bsQx6YjOFgzoXGzWpvXqS/view?usp=sharing Радикальный признак Коши сильнее признака Даламбера]
  
::2.8 [https://drive.google.com/file/d/1RAQ5iVXOTKoc9kLZu1GPv6w_HxzpYVMQ/view?usp=sharing Признак Гаусса] [Ф372]  
+
::2.8 [https://drive.google.com/file/d/1RAQ5iVXOTKoc9kLZu1GPv6w_HxzpYVMQ/view?usp=sharing Признак Гаусса] ['''Ф'''372]  
  
::2.9 [https://drive.google.com/file/d/1Nnjn5ao-A1SGSIx0yiHWefvANUg5aS-r/view?usp=sharing Сравнение с интегралом] [Ф373]  
+
::2.9 [https://drive.google.com/file/d/1Nnjn5ao-A1SGSIx0yiHWefvANUg5aS-r/view?usp=sharing Сравнение с интегралом] ['''Ф'''373]  
  
::2.10 [https://drive.google.com/file/d/1oGptUbdctZop4fEZZwRSuGdcMQF6tZ-X/view?usp=sharing Улучшение сходимости ряда] [Ф415]
+
::2.10 [https://drive.google.com/file/d/1oGptUbdctZop4fEZZwRSuGdcMQF6tZ-X/view?usp=sharing Улучшение сходимости ряда] ['''Ф'''415]
  
Дополнение. [https://drive.google.com/file/d/1Be9LdnGZiiXOwgEX7F6GQM1pbwwUmgxs/view?usp=sharing Теорема Штольца] [Ф33]
+
Дополнение. [https://drive.google.com/file/d/1Be9LdnGZiiXOwgEX7F6GQM1pbwwUmgxs/view?usp=sharing Теорема Штольца] ['''Ф'''33]
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Строка 242: Строка 240:
  
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.1 ''' (27.10.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.1 ''' (27.10.20) [https://www.youtube.com/watch?v=d38soz5sZbs&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=27 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
'''II. Кратные интегралы'''
 
'''II. Кратные интегралы'''
Строка 261: Строка 259:
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.2 ''' (03.11.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.2 ''' (03.11.20) [https://www.youtube.com/watch?v=axzZhFLCYrw&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=34 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
:2. [https://drive.google.com/file/d/1aaW5SMPXnJ7rA89cpMxekNuuuz1lcI9X/view?usp=sharing Кратный интеграл Римана]
 
:2. [https://drive.google.com/file/d/1aaW5SMPXnJ7rA89cpMxekNuuuz1lcI9X/view?usp=sharing Кратный интеграл Римана]
Строка 286: Строка 284:
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.3 ''' (10.11.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.3 ''' (10.11.20) [https://www.youtube.com/watch?v=C-fnycmIhKw&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=38 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:3. [https://drive.google.com/file/d/1ktc1AAJIYYeN2DykAuD2eBrlfVyIkuLN/view?usp=sharing Основные свойства кратного интеграла]
+
:3. [https://drive.google.com/file/d/1vZQwsB0qmk5e0hYqGIE1NrVbnmC4W9T4/view?usp=sharing Свойства интеграла как функционала]
  
 
::3.1 Линейность интеграла
 
::3.1 Линейность интеграла
Строка 296: Строка 294:
 
::3.3 Интегрируемость композиции непрерывной и интегрируемой  
 
::3.3 Интегрируемость композиции непрерывной и интегрируемой  
  
::3.4 Монотонность интеграла
+
::3.4 Неравенство для модуля интеграла
  
::3.5 Теорема о среднем значении
+
::3.5 Монотонность интеграла
  
::3.6 Непрерывность интеграла
+
::3.6 Теорема о среднем значении
  
::3.7 Аддитивность интеграла
+
::3.7 Непрерывность интеграла
  
::3.8 Мера, определяемая интегралом
+
:4. [https://drive.google.com/file/d/19wrlPiugnQotJWPWNj0BoSR-kAqKVBSF/view?usp=sharing Свойства интеграла как функции множества]
  
:4. [https://drive.google.com/file/d/107MyoL4NhTHbof2QsbpIQp4Yof9eNijz/view?usp=sharing Сведение кратного интеграла к повторному]
+
::4.1 Аддитивность интеграла
  
::4.1 Произведение мер
+
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.4 ''' (17.11.20) [https://www.youtube.com/watch?v=THkn-Deo91o&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=41 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
 
 +
::4.2 Заряд и его плотность
 +
 
 +
::4.3 О заряде, имеющем нулевую плотность
 +
 
 +
::4.4 Выражение меры через плотность
  
::4.2 Интеграл по декартову произведению
+
:5. [https://drive.google.com/file/d/107MyoL4NhTHbof2QsbpIQp4Yof9eNijz/view?usp=sharing Сведение кратного интеграла к повторному]
  
::4.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
+
::5.1 Произведение мер
  
::4.4 Интеграл по цилиндрической области
+
::5.2 Интеграл по декартову произведению
  
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.4 ''' (17.11.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [https://www.youtube.com/watch?v=1kU-v5Xmins&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=50 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:5. Криволинейные координаты
+
::5.3 Интеграл по множеству с измеримыми слоями
  
::5.1 Полярные координаты
+
::5.4 Интеграл по цилиндрической области
  
::5.2 Цилиндрические координаты
+
:6. [https://drive.google.com/file/d/1UorRQeBK0y0OLRg5VPaF3YgBy2-HTXYt/view?usp=sharing Криволинейные координаты]
  
::5.3 Сферические координаты
+
::6.1 Общие понятия
  
::5.4 Ортогональная система координат
+
::6.2 Полярные координаты
  
:6. Замена переменных в кратном интеграле
+
::6.3 Цилиндрические координаты
  
::6.1 Линейное преобразование и преобразование площади
+
::6.4 Сферические координаты
  
::6.2 Диффеоморфизм и преобразование площади
+
:7. [https://drive.google.com/file/d/15TDQMKflemWgqDzZpTkT_qI81ercCYit/view?usp=sharing Замена переменных в кратном интеграле]
 +
 
 +
::7.1 Образ жорданова множества
  
::6.3 Внешнее умножение дифференциалов
 
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [https://www.youtube.com/watch?v=TozDwzX2KHk&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=61 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:7. Геометрические приложения кратного интеграла
+
::7.2 Преобразование объема при диффеоморфизме
  
::7.1 Объем, ограниченный графиком
+
::7.3 Теорема о замене переменных
  
::7.2 Площадь поверхности
+
::7.4 Внешнее умножение дифференциалов и преобразование элемента объема
 +
 
 +
:8. [https://drive.google.com/file/d/1UC4wegGedRxxkAfiAuOdJTkbuOrwfV8C/view?usp=sharing Геометрические приложения кратного интеграла]
 +
 
 +
::8.1 Объем, ограниченный графиком
 +
 
 +
::8.2 Понятие площади поверхности (начало)
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [https://www.youtube.com/watch?v=taxXYaHdJEU&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=64 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
:8. Несобственный кратный интеграл
+
::8.2 Понятие площади поверхности (продолжение)
  
::8.1 Интеграл по неограниченному множеству
+
::8.3 Независимость площади от параметризации
 +
 
 +
::8.4 Частные случаи в малых размерностях
 +
 
 +
:9. [https://drive.google.com/file/d/1xF_PDUFaWQtjqseaH3DyOMbG089xWBdP/view?usp=sharing Несобственный кратный интеграл] ['''З'''11.6]
 +
 
 +
::9.1 Исчерпание множества
 +
 
 +
::9.2 Определение несобственного интеграла
 +
 
 +
::9.3 Несобственный интеграл от неотрицательной функции
 +
 
 +
::9.4 Теорема об абсолютной сходимости ['''Ф'''613]
 +
 
 +
::9.5 Мажорантный признак сходимости
  
::8.2 Интеграл от неограниченной функции
 
 
</div></div>
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [ Видео]
+
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [https://www.youtube.com/watch?v=SDMwzK_aW0w&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=70 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:10. [https://drive.google.com/file/d/1ZQRlamU7-vXjqo6T2wZHzQufrG8Mcstw/view?usp=sharing Изопериметрическое неравенство]
 +
 +
::10.1 Сумма множеств по Минковскому
 +
 +
::10.2 Неравенство Брунна - Минковского
 +
 +
::10.3 Площадь поверхности по Минковскому
 +
 +
::10.4 Изопериметрическое неравенство
  
 
</div></div>
 
</div></div>
 +
 +
=== Коллоквиум 2 ===
 +
 +
[https://drive.google.com/file/d/1sk9CFyC1huc6gmVwcwq4x-DDzbah8Scn/view?usp=sharing Вопросы]
 +
 +
Коллоквиум состоится 19.12 (суббота) в 11:10. Формат коллоквиума - дистанционный. Материал лекции 15.12 в него не войдет.
 +
 +
=== Модуль 3 ===
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [ Видео]
+
''' Лекция 3.1 ''' (12.01.21) [https://www.youtube.com/watch?v=MG5TcrT7fHM&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=77 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
Изопериметрическое неравенство
+
'''III. Интегралы, зависящие от параметра'''
 +
::1. Собственный интеграл с параметром и его свойства ['''З'''17.1]
 +
 
 
</div></div>
 
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.2 ''' (19.01.21) [https://www.youtube.com/watch?v=f8wRBKG1Duk&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=88 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::2. Равномерная сходимость семейства функций ['''З'''16.1]
  
=== Коллоквиум 2 ===  
+
::3. Свойства равномерно сходящегося семейства функций ['''З'''16.3]
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.3 ''' (26.01.21) [https://www.youtube.com/watch?v=kONHPWLKd0Y&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=89 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::4. Равномерная сходимость несобственного интеграла ['''З'''17.2]
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.4 ''' (02.02.21) [https://www.youtube.com/watch?v=mXCrIvkigVs&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=95 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла ['''З'''17.2]
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.5 ''' (09.02.21) [https://www.youtube.com/watch?v=FkkdjVD8tAs&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=103 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::5. Свойства равномерно сходящегося несобственного интеграла ['''З'''17.2] (продолжение)
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.6 ''' (16.02.21) [https://www.youtube.com/watch?v=sQQ1P2yIWnk&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=107 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::6. Эйлеровы бета- и гамма-функции
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.7 ''' (02.03.21) [https://www.youtube.com/watch?v=rBMqoCafTp8&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=118 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
'''IV. Ряды и преобразование Фурье'''
 +
::1. Абстрактные ряды Фурье
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.8 ''' (09.03.21) [https://www.youtube.com/watch?v=KhXNhC-hFsc&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=123 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::1. Абстрактные ряды Фурье (продолжение)
 +
 
 +
::2. Тригонометрические ряды Фурье
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.9 ''' (16.03.21) [https://www.youtube.com/watch?v=AG4OOPAFyN4&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=128 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::2. Тригонометрические ряды Фурье (продолжение)
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 3.10 ''' (23.03.21) [https://www.youtube.com/watch?v=DkWKc-Pj1OM&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=131 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::3. Преобразование Фурье
 +
 
 +
::4. Дискретное преобразование Фурье
 +
 
 +
</div></div>
 +
=== Коллоквиум 3 ===
 +
 
 +
[https://drive.google.com/file/d/1QnaWLM231Hn8AOg_mrkDOsIeLB20PUno/view?usp=sharing Вопросы]
 +
 
 +
Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал лекции 23.03 в него не войдет.
 +
 
 +
=== Модуль 4 ===
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 4.1 ''' (06.04.21) [https://www.youtube.com/watch?v=h_VmHDiSPJI&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=134 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
'''V. Криволинейные и поверхностные интегралы'''
 +
:1. Криволинейный и поверхностный интеграл I-го рода ['''З'''12.1, 12.4, 13.1, 13.2]
 +
::1.1 Понятия гладкой кривой и гладкой поверхности (напоминание)
 +
::1.2 Длина гладкой кривой и площадь гладкой поверхности (напоминание)
 +
::1.3 Криволинейный интеграл I-го рода
 +
::1.4 Физические понятия, связанные с криволинейным интегралом I-го рода (масса и заряд материальной кривой, центр масс кривой)
 +
::1.5 Поверхностный интеграл I-го рода
 +
::1.6 Физические понятия, связанные с поверхностным интегралом I-го рода (масса и заряд материальной поверхности, центр масс поверхности, теоремы Гульдина)
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 4.2 ''' (13.04.21) [https://www.youtube.com/watch?v=H9sgI2O2Pdg&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=145 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:2. Ориентация пространства, кривой и поверхности ['''З'''12.2, 12.3]
 +
::2.1 Ориентация пространства и элементарной гладкой поверхности
 +
::2.2 Понятие гладкого многообразия: карты и атлас
 +
::2.3 Гладкое многообразие с краем
 +
::2.4 Ориентируемость и ориентация гладкого многообразия (кривой и поверхности)
 +
::2.5 Согласованная ориентация края поверхности (не успели)
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 4.3 ''' (20.04.21) [https://www.youtube.com/watch?v=WS-N2Dka3xU&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=148 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:3. Криволинейный интеграл II-го рода и формула Грина ['''З'''12.5, 13.1, 13.2, 13.3]
 +
::3.1 Дифференциальная 1-форма в области пространства
 +
::3.2 Дифференциальная 1-форма на кривой
 +
::3.3 Криволинейный интеграл II-го рода
 +
::3.4 Выражение криволинейного интеграла II-го рода через криволинейный интеграл I-го рода
 +
::3.5 Формула Грина и ее приложение к вычислению площади
 +
::3.6 Внешний дифференциал 1-формы и краткая запись формулы Грина
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 4.4 ''' (27.04.21) [https://www.youtube.com/watch?v=t2u_ZUzT1Mo&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=156 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:4. Поверхностный интеграл II-го рода. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса ['''З'''12.5, 13.1, 13.2, 13.3]
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 4.5 ''' (11.05.21) [https://www.youtube.com/watch?v=lUqrd4aP3Zc&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=163 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
'''VI. Элементы комплексного анализа'''
 +
:1. Введение в комплексный анализ
 +
::1.1 Комплексная плоскость
 +
::1.2 Сфера Римана
 +
::1.3 Функция комплексной переменной
 +
::1.4 Многозначность
 +
::1.5 Многолистность и риманова поверхность
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 4.6 ''' (18.05.21)
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::1.6 Предел и непрерывность
 +
 
 +
:2. Голоморфные функции и формула Коши
 +
::2.1 Линейные отображения
 +
::2.2 Дифференцируемость
 +
::2.3 Голоморфность
 +
::2.4 Интеграл и теорема Коши
 +
::2.5 Интегральные формулы Коши - Грина и Коши
 +
</div></div>
 +
''' Лекция 4.7 ''' (25.05.21)
 +
:3. Свойства голоморфных функций
 +
::3.1 Голоморфность композиции (в частности: суммы, произведения, частного)
 +
::3.2 Голоморфность обратной функции
 +
::3.3 Аналитичность голоморфной функции. Неравенство Коши (для коэффициентов ряда)
 +
::3.4 Бесконечная дифференцируемость и голоморфность аналитической функции
 +
 
 +
''' Лекция 4.8 ''' (01.06.21)
 +
::3.5 Голоморфность и радиус сходимости
 +
::3.6 Теорема Лиувилля (о голоморфной и ограниченной на всей плоскости функции)
 +
::3.7 Теорема единственности аналитической функции
 +
 
 +
:4. Однозначные особые точки и ряд Лорана
 +
::4.1 Однозначные особые точки
 +
::4.2 Устранимая особенность
 +
::4.3 Полюс
 +
::4.4 Существенная особенность
 +
 
 +
''' Лекция 4.9 ''' (08.06.21)
 +
::4.5 Ряд Лорана
 +
::4.6 Единственность разложения Лорана
 +
::4.7 Главная часть ряда Лорана и классификация особых точек
 +
 
 +
:5. Теория вычетов и ее приложения
 +
::5.1 Понятие вычета и теорема Коши о вычетах
 +
::5.2 Вычисление вычета
 +
::5.3 Пример применения вычетов для вычисления несобственного интеграла
 +
 
 +
''' Лекция 4.10 ''' (15.06.21)
 +
 
 +
::5.4 Применение вычетов к суммированию рядов
 +
::5.5 Примеры суммирования рядов
 +
::5.6 Разложение мероморфной функции в сумму простейших дробей
 +
::5.7 Разложения tg и ctg
 +
 
 +
=== Коллоквиум 4 ===  
  
[ Вопросы]
+
[https://drive.google.com/file/d/14cNhsdJM5LLCd2n28fe65MBZqJYMv4_L/view?usp=sharing Вопросы]
  
Коллоквиум состоится ... Материал лекции 15.12 в него не войдет.
+
Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал последней лекции модуля в него не войдет.
  
 
== Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены ==
 
== Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены ==
Строка 389: Строка 599:
 
=== Об экзаменах ===
 
=== Об экзаменах ===
  
На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал в экзамены не входит.
+
На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамены не входит.
 +
 
 +
Демонстрационные варианты экзамена показывают примерный уровень сложности заданий и их примерное распределение по темам. Не следует думать, что задания экзаменационных вариантов обязательно будут таких же типов.
  
 
=== Модуль 1 ===
 
=== Модуль 1 ===
Строка 417: Строка 629:
  
 
''' Семинар 2.1 '''  
 
''' Семинар 2.1 '''  
Мера Жордана. [https://drive.google.com/file/d/1wnu5GBZyl1_gg25AbnID3Lb0uN4g4OAw/view?usp=sharing Задачи]
+
Мера Жордана. [https://drive.google.com/file/d/1wnu5GBZyl1_gg25AbnID3Lb0uN4g4OAw/view?usp=sharing Теоретические задачи]
  
 
''' Семинар 2.2 '''
 
''' Семинар 2.2 '''
Кратный интеграл Римана. [https://drive.google.com/file/d/1ApiMiFLy40cGulw-VYhLgtJoQ5jTyJGd/view?usp=sharing Задачи]
+
Кратный интеграл Римана. [https://drive.google.com/file/d/1ApiMiFLy40cGulw-VYhLgtJoQ5jTyJGd/view?usp=sharing Теоретические задачи]
  
 
''' Семинар 2.3 '''  
 
''' Семинар 2.3 '''  
Вычисление кратного интеграла. [ Задачи]
+
Вычисление кратного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/1p8Q4JHWyuvApIFM8_lLXc1_G8xjhNcQb/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.4 '''  
 
''' Семинар 2.4 '''  
Системы координат. [ Задачи]
+
Вычисление кратного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/1ASW8nVMAlV0lfBasbwy351q2AS7UlYC2/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.5 '''  
 
''' Семинар 2.5 '''  
Замена переменных в кратном интеграле. [ Задачи]
+
Замена переменных в кратном интеграле. [https://drive.google.com/file/d/1dk-R2NRuasMa8ABvUUsGrRMIAhLFDWVN/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.6 '''  
 
''' Семинар 2.6 '''  
Геометрические приложения кратного интеграла. [ Задачи]
+
Геометрические приложения кратного интеграла. [https://drive.google.com/file/d/1ojG2S7n_YdKjtYkxgUEXNYF_3jezTyA-/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.7 '''  
 
''' Семинар 2.7 '''  
Несобственный кратный интеграл. [ Задачи]
+
Несобственный кратный интеграл. [https://drive.google.com/file/d/1-EIflY12zmieoQEC6XmtqgChSwMzhDEM/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 2.8 '''  
 
''' Семинар 2.8 '''  
Итоговое повторение по темам модуля. [ Задачи]
+
Итоговое повторение по темам модуля и семестра.
  
 
=== Экзамен 1 ===
 
=== Экзамен 1 ===
  
Экзамен состоится ...
+
Экзамен состоится 24 декабря в 14:00. Формат: 6 вычислительных задач на 90 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: '''группа_Фамилия_Имя''', например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2. Показ работ: по согласованию с семинаристом.
 +
 
 +
Тематическое распределение заданий:
 +
# Исследование числового ряда на сходимость или абсолютную сходимость
 +
# Исследование функционального ряда на равномерную сходимость
 +
# Вычисление области сходимости степенного ряда
 +
# Замена переменных в кратном интеграле
 +
# Вычисление объема тела или площади поверхности
 +
# Исследование сходимости несобственного кратного интеграла
 +
 
 +
[https://drive.google.com/file/d/1RFtSlDpUq1Lstn3EvbHZwJGd8tWkeUIV/view?usp=sharing Демо-варианты экзамена]
 +
 
 +
=== Модуль 3 ===
 +
 
 +
''' Семинар 3.1 ''' Собственный интеграл, зависящий от параметра.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1Y3QyHWwQmmBDM3R9VaDVocI7xSj0hMn4/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.2 ''' Равномерная сходимость системы функций.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1NXWKueqb_48xfs6OQhMwSW9KNAHCHO_Y/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.3 ''' Равномерная сходимость несобственного интеграла.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1JEp0LOIHlhXf5CO-2hnLkRFfIFRj7QDi/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.4 ''' Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
 +
[https://drive.google.com/file/d/19kxPaSSdcB3zUmfe-Gyt8FSW6Ly0OoxC/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.5 ''' Дифференцирование под знаком несобственного интеграла.
 +
[https://drive.google.com/file/d/14Avpryc-LAQjiCuy37j2OMsri4z1MmDJ/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.6 ''' Эйлеровы интегралы.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1OkPEGAXzQh1bfFIJ225sXQCPG8CsrItS/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.7 ''' Ряды Фурье.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1FjKzXQ6ffp4PZWZYPMNOnCh-RQA6zN-0/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.8 ''' Ряды Фурье.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1UsMyL9VS5QPhsjTb0yCGPGMkUluUPH0i/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.9 ''' Преобразование Фурье.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1Y4eZvrxwpyhrnz3Cug5v7Adz_bSHAkDa/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 3.10 ''' Коллоквиум-3
 +
 
 +
=== Модуль 4 ===
 +
 
 +
''' Семинар 4.1 ''' Криволинейный интеграл I-го рода.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1PXzOKNdBtvQt_ZLFnmfIY-liy7odwHkG/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.2 ''' Поверхностный интеграл I-го рода.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1nAoJ59Dax5nRsxHtLS0wAJUXvIb8Mk2K/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.3 ''' Криволинейный интеграл II-го рода. Формула Грина.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1bS2_2s1GnjRt9bJ8UVYxHuUuXpFNVrxd/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.4 ''' Поверхностный интеграл II-го рода. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1oW7AGUOdSudF7zJyaD5hJZomV9BoNDF0/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.5 ''' Введение в комплексный анализ.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1nKWQply8HVghDIoxoOwyc6TYGcw4MAgH/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.6 ''' Непрерывность и голоморфность.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1wehu3hFsLocPcxD5xNdmGii5eFidSBfO/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.7 ''' Конформные отображения.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1W4JiBdKPOPlwX_Y8RW5tw30gcWw_uXsD/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.8 ''' Однозначные особые точки и ряд Лорана.
 +
[https://drive.google.com/file/d/1s_mxrkDZMX9xFMzrpF60I7Rk47jEAwv_/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.9 ''' Теория вычетов и ее приложения.
 +
[https://drive.google.com/file/d/19aCOjxOvc9NU3rKL0c2Bi4MiRsYPUWBC/view?usp=sharing Задачи]
 +
 
 +
''' Семинар 4.10 ''' Коллоквиум-4
 +
 
 +
=== Экзамен 2 ===
 +
 
 +
Экзамен состоится 24 июня в 15:00. Формат: 6 вычислительных задач на 180 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: '''группа_Фамилия_Имя''', например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2 балла. Баллы за задачи суммируются и срезаются 10-ю баллами взятием min(10, summa). Показ работ: по согласованию с семинаристом.
 +
 
 +
Тематическое распределение заданий:
 +
# Интеграл, зависящий от параметра (вычисление интеграла с помощью перехода к пределу или дифференцирования под знаком интеграла)
 +
# Ряды Фурье (разложение функции в тригонометрический ряд Фурье)
 +
# Криволинейный интеграл (вычисление криволинейного интеграла I-го или II-го рода, без формул Грина и Стокса)
 +
# Поверхностный интеграл (вычисление поверхностного интеграла I-го или II-го рода, без формулы Остроградского - Гаусса)
 +
# Элементы комплексного анализа (уравнения Коши - Римана, дробно-линейное отображение, разложение в ряд Лорана, вычеты и их приложения)
 +
# Задача по материалу I-го семестра (аналогичная одной из задач Экзамена-1)
 +
 
 +
Демо-вариантов не будет, поскольку их наличие в I-м семестре было истолковано неверно.
  
 
== Ведомость с оценками ==
 
== Ведомость с оценками ==
Строка 461: Строка 759:
  
 
Итоговая оценка 1-го семестра:
 
Итоговая оценка 1-го семестра:
<blockquote><b>i</b><sub>1</sub>=0.125(<b>s</b><sub>1</sub>+<b>s</b><sub>2</sub>+<b>k</b><sub>1</sub>+<b>k</b><sub>2</sub>)+0.5<b>e</b><sub>1</sub></blockquote>
+
<blockquote>
Если <b>s</b><sub>1</sub>+<b>s</b><sub>2</sub>+<b>k</b><sub>1</sub>+<b>k</b><sub>2</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>1</sub>=10.
+
<b>i</b><sub>1</sub>=0.125<b>n</b><sub>1</sub>+0.5<b>e</b><sub>1</sub>,
 +
где <b>n</b><sub>1</sub>=<b>s</b><sub>1</sub>+<b>s</b><sub>2</sub>+<b>k</b><sub>1</sub>+<b>k</b><sub>2</sub>
 +
</blockquote>
 +
 
 +
Если <b>n</b><sub>1</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>1</sub>=10.
 +
 
 +
Если 38&gt;<b>n</b><sub>1</sub>≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>1</sub>=0.25<b>n</b><sub>1</sub> (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.
  
 
Итоговая оценка 2-го семестра:
 
Итоговая оценка 2-го семестра:
<blockquote><b>i</b><sub>2</sub>=0.125(<b>s</b><sub>3</sub>+<b>s</b><sub>4</sub>+<b>k</b><sub>3</sub>+<b>k</b><sub>4</sub>)+0.5<b>e</b><sub>2</sub></blockquote>
+
<blockquote>
Если <b>s</b><sub>3</sub>+<b>s</b><sub>4</sub>+<b>k</b><sub>3</sub>+<b>k</b><sub>4</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>2</sub>=10.
+
<b>i</b><sub>2</sub>=0.125<b>n</b><sub>2</sub>+0.5<b>e</b><sub>2</sub>,
 +
где <b>n</b><sub>2</sub>=<b>s</b><sub>3</sub>+<b>s</b><sub>4</sub>+<b>k</b><sub>3</sub>+<b>k</b><sub>4</sub>
 +
</blockquote>
 +
 
 +
Если <b>n</b><sub>2</sub>≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>2</sub>=10.
 +
 
 +
Если 38&gt;<b>n</b><sub>2</sub>≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом <b>e</b><sub>2</sub>=0.25<b>n</b><sub>2</sub> (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.
  
 
Итоговая оценка за курс:
 
Итоговая оценка за курс:
<blockquote><b>i</b>=0.5(<b>i</b><sub>1</sub>+<b>i</b><sub>2</sub>)</blockquote>
+
<blockquote><b>i</b>=0.5(<b>i</b><sub>1</sub> + <b>i</b><sub>2</sub>)</blockquote>
 
(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)
 
(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)
  
Строка 476: Строка 786:
 
== Список рекомендуемой литературы ==
 
== Список рекомендуемой литературы ==
  
['''Ф'''] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1969.  
+
=== Учебники ===
 +
 
 +
['''Ф'''] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969
  
 
[https://drive.google.com/file/d/1Ozdf_LS_BSVIehkSJhTPdLR5S_9MJ7nO/view?usp=sharing Том 1] (пп. 1-262)  
 
[https://drive.google.com/file/d/1Ozdf_LS_BSVIehkSJhTPdLR5S_9MJ7nO/view?usp=sharing Том 1] (пп. 1-262)  
Строка 484: Строка 796:
 
Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).
 
Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).
  
['''З'''] Зорич В.А. - Математический анализ, 2019
+
['''З'''] Зорич В.А. - Математический анализ. 2019
  
 
[https://drive.google.com/file/d/1wBqHsVP3UpmyYQofon3Im1TQmRHHTB2R/view?usp=sharing Часть 1]  
 
[https://drive.google.com/file/d/1wBqHsVP3UpmyYQofon3Im1TQmRHHTB2R/view?usp=sharing Часть 1]  
Строка 491: Строка 803:
 
Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.  
 
Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.  
  
['''Ш'''] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ, 1976.
+
['''Шл'''] Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. 1972
 +
 
 +
[ Части 1-2]
 +
 
 +
Пользовался этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.
 +
 
 +
['''МП'''] Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. - Лекции по вещественному анализу. 2011
 +
 
 +
Математический анализ, основанный на теории меры и интеграла Лебега. Эта книга не имеет непосредственного отношения к нашему курсу.
 +
Но, учитывая желательность знакомства с теорией Лебега для некоторых разделов математики (ряды и интегралы Фурье, теория вероятностей, дифференциальные уравнения, функциональный анализ), рекомендую ее для продвинутых студентов. В книге много вкусностей (например: мера и размерность по Хаусдорфу, изопериметрическое неравенство). Также рекомендую задачник тех же авторов.
 +
 
 +
['''Ш'''] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ. 1976
  
 
[https://drive.google.com/file/d/1BQLq9S34AA5mNv_-Mp7ApOeaQ7XLbMvY/view?usp=sharing Часть 1]
 
[https://drive.google.com/file/d/1BQLq9S34AA5mNv_-Mp7ApOeaQ7XLbMvY/view?usp=sharing Часть 1]
Строка 497: Строка 820:
 
Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.
 
Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.
  
['''Д'''] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу, любое издание
+
=== Задачники ===
 +
 
 +
['''Д'''] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание
  
 
[https://drive.google.com/file/d/1aOWgN9OSky4WoIj6ezB7Ea5ETlzSKSMB/view?usp=sharing Например, это]
 
[https://drive.google.com/file/d/1aOWgN9OSky4WoIj6ezB7Ea5ETlzSKSMB/view?usp=sharing Например, это]

Текущая версия на 16:06, 22 июня 2021

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа 193 195 196 197 198 199 1910 1911
Лектор Маевский Е.В.
Семинарист Колесниче́нко Е.Ю. Днестрян А.И. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Колесниче́нко Е.Ю. Томашевский С.В. Томашевский С.В.
Ассистент Вологодский Михаил Субхангулов Султан Лямзин Алексей Паузнер Илья Сухарьков Александр Семерова Елена Цыганов Артем Сухарьков Александр

Приемные часы

Преподаватель понедельник вторник среда четверг пятница
Маевский Евгений Валерьевич почта: emaevskiy@mail.ru или телеграм: @emaevskiy
Колесниче́нко Елена Юрьевна
Днестрян Андрей Игоревич
Томашевский Сергей Владимирович

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2020/2021 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы, интегралы с параметром, ряды и преобразование Фурье, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы комплексного анализа. Рассчитан на 2 семестра (4 модуля).

Лекции и коллоквиумы

О коллоквиумах

Описанный ниже формат коллоквиума действует начиная с 3-го модуля. Информация о формате коллоквиумов 1-го и 2-го модулей удалена, т.к. перестала быть актуальной.

Коллоквиум у нас - это письменный зачет по теории. Проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 80 минут. Теоретические задания включают в себя вопросы на формулировку определений, утверждений и доказательства. Каждое задание оценивается по системе 0-1-2-3-4 без дробных баллов. Затем баллы суммируются и сумма умножается на 5/6.

О лекциях

Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры) необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.

[Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.

[З11.6] - это ссылка на главу 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.

Модуль 1

Лекция 1.1 (01.09.20) Видео

Лекция 1.4 (22.09.20) Видео

Лекция 1.5 (29.09.20) Видео

Лекция 1.6 (06.10.20) Видео

Лекция 1.7 (13.10.20) Видео

Десерт

Коллоквиум 1

Вопросы

Коллоквиум состоится 17 октября (суббота) в 16:20 (Московское время). Материал лекции 13.10 в него не войдет. Коллоквиум пройдет в дистанционном формате для всех групп. Дополнительные инструкции смотрите на почте.

Модуль 2

Лекция 2.1 (27.10.20) Видео

Лекция 2.2 (03.11.20) Видео

Лекция 2.3 (10.11.20) Видео

Лекция 2.4 (17.11.20) Видео

Лекция 2.5 (24.11.20) Видео

Лекция 2.6 (01.12.20) Видео

Лекция 2.7 (08.12.20) Видео

Лекция 2.8 (15.12.20) Видео

Коллоквиум 2

Вопросы

Коллоквиум состоится 19.12 (суббота) в 11:10. Формат коллоквиума - дистанционный. Материал лекции 15.12 в него не войдет.

Модуль 3

Лекция 3.1 (12.01.21) Видео

Лекция 3.2 (19.01.21) Видео

Лекция 3.3 (26.01.21) Видео

Лекция 3.4 (02.02.21) Видео

Лекция 3.5 (09.02.21) Видео

Лекция 3.6 (16.02.21) Видео

Лекция 3.7 (02.03.21) Видео

Лекция 3.8 (09.03.21) Видео

Лекция 3.9 (16.03.21) Видео

Лекция 3.10 (23.03.21) Видео

Коллоквиум 3

Вопросы

Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал лекции 23.03 в него не войдет.

Модуль 4

Лекция 4.1 (06.04.21) Видео

Лекция 4.2 (13.04.21) Видео

Лекция 4.3 (20.04.21) Видео

Лекция 4.4 (27.04.21) Видео

Лекция 4.5 (11.05.21) Видео

Лекция 4.6 (18.05.21)

Лекция 4.7 (25.05.21)

3. Свойства голоморфных функций
3.1 Голоморфность композиции (в частности: суммы, произведения, частного)
3.2 Голоморфность обратной функции
3.3 Аналитичность голоморфной функции. Неравенство Коши (для коэффициентов ряда)
3.4 Бесконечная дифференцируемость и голоморфность аналитической функции

Лекция 4.8 (01.06.21)

3.5 Голоморфность и радиус сходимости
3.6 Теорема Лиувилля (о голоморфной и ограниченной на всей плоскости функции)
3.7 Теорема единственности аналитической функции
4. Однозначные особые точки и ряд Лорана
4.1 Однозначные особые точки
4.2 Устранимая особенность
4.3 Полюс
4.4 Существенная особенность

Лекция 4.9 (08.06.21)

4.5 Ряд Лорана
4.6 Единственность разложения Лорана
4.7 Главная часть ряда Лорана и классификация особых точек
5. Теория вычетов и ее приложения
5.1 Понятие вычета и теорема Коши о вычетах
5.2 Вычисление вычета
5.3 Пример применения вычетов для вычисления несобственного интеграла

Лекция 4.10 (15.06.21)

5.4 Применение вычетов к суммированию рядов
5.5 Примеры суммирования рядов
5.6 Разложение мероморфной функции в сумму простейших дробей
5.7 Разложения tg и ctg

Коллоквиум 4

Вопросы

Коллоквиум состоится на последнем семинаре модуля. Формат коллоквиума - письменный зачет по теории. Материал последней лекции модуля в него не войдет.

Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены

О домашних заданиях

К каждому семинару выдается список задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре, остальное - ДЗ.

Задачи со звездочками предназначены для интересующихся студентов. Эти задачи не проверяются и никак не учитываются.

О самостоятельных работах

На следующем семинаре проводится самостоятельная работа по темам предыдущего семинара. Каждому студенту предлагается решить 1 задачу, аналогичную задачам из списка. Самостоятельная оценивается по системе 0-1-2.

Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).

Об экзаменах

На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамены не входит.

Демонстрационные варианты экзамена показывают примерный уровень сложности заданий и их примерное распределение по темам. Не следует думать, что задания экзаменационных вариантов обязательно будут таких же типов.

Модуль 1

Семинар 1.1 Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Задачи

Семинар 1.2 Положительные ряды. Задачи

Семинар 1.3 Знакопеременные ряды. Задачи

Семинар 1.4 Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. Задачи

Семинар 1.5 Исследование сходимости функциональных рядов. Задачи

Семинар 1.6 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Задачи

Семинар 1.7 Итоговое повторение по темам модуля. Задачи - факультативно

Модуль 2

Семинар 2.1 Мера Жордана. Теоретические задачи

Семинар 2.2 Кратный интеграл Римана. Теоретические задачи

Семинар 2.3 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.4 Вычисление кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.5 Замена переменных в кратном интеграле. Задачи

Семинар 2.6 Геометрические приложения кратного интеграла. Задачи

Семинар 2.7 Несобственный кратный интеграл. Задачи

Семинар 2.8 Итоговое повторение по темам модуля и семестра.

Экзамен 1

Экзамен состоится 24 декабря в 14:00. Формат: 6 вычислительных задач на 90 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: группа_Фамилия_Имя, например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2. Показ работ: по согласованию с семинаристом.

Тематическое распределение заданий:

  1. Исследование числового ряда на сходимость или абсолютную сходимость
  2. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость
  3. Вычисление области сходимости степенного ряда
  4. Замена переменных в кратном интеграле
  5. Вычисление объема тела или площади поверхности
  6. Исследование сходимости несобственного кратного интеграла

Демо-варианты экзамена

Модуль 3

Семинар 3.1 Собственный интеграл, зависящий от параметра. Задачи

Семинар 3.2 Равномерная сходимость системы функций. Задачи

Семинар 3.3 Равномерная сходимость несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.4 Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.5 Дифференцирование под знаком несобственного интеграла. Задачи

Семинар 3.6 Эйлеровы интегралы. Задачи

Семинар 3.7 Ряды Фурье. Задачи

Семинар 3.8 Ряды Фурье. Задачи

Семинар 3.9 Преобразование Фурье. Задачи

Семинар 3.10 Коллоквиум-3

Модуль 4

Семинар 4.1 Криволинейный интеграл I-го рода. Задачи

Семинар 4.2 Поверхностный интеграл I-го рода. Задачи

Семинар 4.3 Криволинейный интеграл II-го рода. Формула Грина. Задачи

Семинар 4.4 Поверхностный интеграл II-го рода. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса. Задачи

Семинар 4.5 Введение в комплексный анализ. Задачи

Семинар 4.6 Непрерывность и голоморфность. Задачи

Семинар 4.7 Конформные отображения. Задачи

Семинар 4.8 Однозначные особые точки и ряд Лорана. Задачи

Семинар 4.9 Теория вычетов и ее приложения. Задачи

Семинар 4.10 Коллоквиум-4

Экзамен 2

Экзамен состоится 24 июня в 15:00. Формат: 6 вычислительных задач на 180 минут. По окончании листы надо сфотографировать и выслать преподавателю, ведущему семинары, с копией лектору (тема письма: группа_Фамилия_Имя, например: 190_Маевский_Евгений). Проверка: каждое задание оценивается по системе 0-1-2 балла. Баллы за задачи суммируются и срезаются 10-ю баллами взятием min(10, summa). Показ работ: по согласованию с семинаристом.

Тематическое распределение заданий:

  1. Интеграл, зависящий от параметра (вычисление интеграла с помощью перехода к пределу или дифференцирования под знаком интеграла)
  2. Ряды Фурье (разложение функции в тригонометрический ряд Фурье)
  3. Криволинейный интеграл (вычисление криволинейного интеграла I-го или II-го рода, без формул Грина и Стокса)
  4. Поверхностный интеграл (вычисление поверхностного интеграла I-го или II-го рода, без формулы Остроградского - Гаусса)
  5. Элементы комплексного анализа (уравнения Коши - Римана, дробно-линейное отображение, разложение в ряд Лорана, вычеты и их приложения)
  6. Задача по материалу I-го семестра (аналогичная одной из задач Экзамена-1)

Демо-вариантов не будет, поскольку их наличие в I-м семестре было истолковано неверно.

Ведомость с оценками

193 195 196 197 198 199 1910 1911

Формы контроля и оценивание

В течение года установлены следующие формы контроля:

  • 2 письменных экзамена (e1, e2 - 10-балльные оценки за экзамены);
  • 4 коллоквиума (k1, k2, k3, k4 - 10-балльные оценки за коллоквиумы);
  • некоторое число самостоятельных работ (s1, s2, s3, s4 - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале).

Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги.

Итоговая оценка 1-го семестра:

i1=0.125n1+0.5e1, где n1=s1+s2+k1+k2

Если n1≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e1=10.

Если 38>n1≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e1=0.25n1 (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.

Итоговая оценка 2-го семестра:

i2=0.125n2+0.5e2, где n2=s3+s4+k3+k4

Если n2≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=10.

Если 38>n2≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=0.25n2 (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена.

Итоговая оценка за курс:

i=0.5(i1 + i2)

(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

Учебники

[Ф] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).

[З] Зорич В.А. - Математический анализ. 2019

Часть 1 Часть 2

Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.

[Шл] Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. 1972

[ Части 1-2]

Пользовался этой книгой при изложении теории меры Жордана и интеграла Римана. Книга в целом несколько выходит за рамки классического курса математического анализа.

[МП] Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. - Лекции по вещественному анализу. 2011

Математический анализ, основанный на теории меры и интеграла Лебега. Эта книга не имеет непосредственного отношения к нашему курсу. Но, учитывая желательность знакомства с теорией Лебега для некоторых разделов математики (ряды и интегралы Фурье, теория вероятностей, дифференциальные уравнения, функциональный анализ), рекомендую ее для продвинутых студентов. В книге много вкусностей (например: мера и размерность по Хаусдорфу, изопериметрическое неравенство). Также рекомендую задачник тех же авторов.

[Ш] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ. 1976

Часть 1

Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.

Задачники

[Д] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание

Например, это

Классический задачник по математическому анализу. Если кто забыл о чем было в первой части курса анализа - вам сюда. Решайте задачи, повторяйте, тренируйтесь. Без уверенного владения матанализом-1 вы не освоите матанализ-2.

[С] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018

Обычно пользуюсь этим задачником при планировании семинарских занятий.