Математический анализ - 2 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Модуль 1)
(Модуль 2)
(не показаны 42 промежуточные версии этого же участника)
Строка 149: Строка 149:
  
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 1.5 ''' (29.09.20)
+
''' Лекция 1.5 ''' (29.09.20) [https://www.youtube.com/watch?v=Ky_kONQxBLQ&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=9 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
::5.5 Свойства равномерно сходящейся последовательности
 
::5.5 Свойства равномерно сходящейся последовательности
Строка 157: Строка 157:
 
::6.1 Основные понятия
 
::6.1 Основные понятия
  
::6.2 Необходимое условие
+
::6.2 Необходимое условие равномерной сходимости
  
::6.3 Критерий Коши
+
::6.3 Критерий Коши равномерной сходимости
  
::6.4 Признаки Даламбера и Вейерштрасса
+
::6.4 Признаки Вейерштрасса и Даламбера
  
::6.5 Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля
+
::6.5 Признак Лейбница
  
::6.6 Свойства равномерно сходящегося ряда
+
::6.6 Признаки Дирихле и Абеля
 +
 
 +
::6.7 Свойства равномерно сходящегося ряда
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 1.6 ''' (06.10.20)
+
''' Лекция 1.6 ''' (06.10.20) [https://www.youtube.com/watch?v=veyGe7fKKsg&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=17 Видео]
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
:7. Степенные ряды
 
:7. Степенные ряды
Строка 175: Строка 177:
 
::7.1 Основные понятия
 
::7.1 Основные понятия
  
::7.2 Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости
+
::7.2 Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости
  
::7.3 Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
+
::7.3 Сходимость степенного ряда в граничной точке интервала сходимости
  
::7.4 Ряд Тейлора. Оценки для остатка ряда
+
::7.4 Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
  
::7.5 Ряды Тейлора основных элементарных функций
+
::7.5 Ряд Тейлора. Оценки для остатка ряда
  
::7.6 Треугольник Бернулли - Эйлера и разложения tg и sec
+
::7.6 Ряды Тейлора основных элементарных функций
 +
</div></div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 1.7 ''' (13.10.20) [https://www.youtube.com/watch?v=8M1MtC6V4Iw&list=PLEwK9wdS5g0qV-430pfXzTawd6pI_VUgq&index=19 Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
::7.7 Треугольник Бернулли - Эйлера и разложения tg и sec
 +
 
 +
::7.8 Радиус сходимости и экспоненциальное убывание коэффициента
 +
 
 +
:8 Степенной ряд от комплексной переменной
 +
 
 +
::8.1 Признак Абеля и теорема Абеля. Радиус сходимости. Круг сходимости
 +
 
 +
::8.2 Аналитическая функция. Особые точки
 +
 
 +
::8.3 Основные элементарные функции комплексной переменной
 +
 
 +
::8.4 Формула Эйлера для комплексной экспоненты
 +
 
 +
:9. Операции над степенными рядами
  
::7.7 Степенной ряд от комплексной переменной
+
::9.1 Умножение степенных рядов
  
::7.8 Основные элементарные функции комплексной переменной. Формула Эйлера для комплексной экспоненты
+
::9.2 Деление степенных рядов
  
:8. Операции над степенными рядами
+
::9.3 Мультиномиальная формула и перестановки с повторениями
  
::8.1 Умножение степенных рядов
+
::9.4 Подстановка степенного ряда в степенной ряд
  
::8.2 Деление степенных рядов
+
::9.5 Обращение степенного ряда. Формула Лагранжа
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
''' Лекция 1.7 ''' (13.10.20)
+
''' Десерт '''
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
::8.3 Подстановка степенного ряда в степенной ряд
+
:10. Эйлеровы разложения тригонометрических функций
  
::8.4 Обращение степенного ряда. Формула Бюрмана - Лагранжа
+
::10.1 Разложение sin в бесконечное произведение
  
:9. Эйлеровы разложения тригонометрических функций
+
::10.2 Разложение cos в бесконечное произведение
  
::9.1 Разложение sin в бесконечное произведение
+
::10.3 Значения &zeta;-функции от положительного четного аргумента
  
::9.2 Разложение cos в бесконечное произведение
+
::10.4 Разложения tg и ctg на простейшие дроби
 +
</div></div>
  
::9.3 Значения &zeta;-функции от положительного четного аргумента
+
=== Коллоквиум 1 ===
  
::9.4 Разложения tg и ctg на простейшие дроби
+
[https://drive.google.com/file/d/1sr8XmNOzeL8uPXSG12FlmgukfJxNsA8r/view?usp=sharing Вопросы]
  
 +
Коллоквиум состоится 17 октября (суббота) в 16:20 (Московское время). Материал лекции 13.10 в него не войдет.
 +
Коллоквиум пройдет в дистанционном формате для всех групп. Дополнительные инструкции смотрите на почте.
 +
 +
=== Модуль 2 ===
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.1 ''' (27.10.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
'''II. Кратные интегралы'''
 +
 +
:1. [https://drive.google.com/file/d/1vv_Blwximv805jysRZ1wJYdELTLi_xFy/view?usp=sharing Мера Жордана]
 +
 +
::1.1 Мера на кольце подмножеств
 +
 +
::1.2 Ограниченные полуинтервалы в R<sup>m</sup>
 +
 +
::1.3 Кольцо простых множеств в R<sup>m</sup> и мера на нем
 +
 +
::1.4 Внешняя m-мерная мера Жордана и ее свойства
 +
 +
::1.5 Кольцо множеств в R<sup>m</sup>, измеримых по Жордану. Внутренняя мера Жордана
 +
 +
::1.6 Интегрируемость функции по Риману и измеримость по Жордану ее подграфика
 
</div></div>
 
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.2 ''' (03.11.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:2. [https://drive.google.com/file/d/1aaW5SMPXnJ7rA89cpMxekNuuuz1lcI9X/view?usp=sharing Кратный интеграл Римана]
  
''' Коллоквиум 1 ''' [https://drive.google.com/file/d/1sr8XmNOzeL8uPXSG12FlmgukfJxNsA8r/view?usp=sharing Вопросы] (Внимание! Список вопросов пополняется!)
+
::2.1 Область интегрирования и ее разбиение
  
Ориентировочно, коллоквиум состоится на неделе 12-17.10. Материал лекции 13.10 в него не войдет.
+
::2.2 Произведение разбиений. Измельчение разбиения. Диаметр разбиения
  
=== Модуль 2 ===
+
::2.3 Интегральная сумма. Интегрируемость функции
  
== Семинары, домашние задания и самостоятельные работы ==
+
::2.4 Нижняя и верхняя суммы Дарбу. Их свойства
 +
 
 +
::2.5 Критерий Дарбу интегрируемости функции
 +
 
 +
::2.6 Критерий Дюбуа-Реймона
 +
 
 +
::2.7 Критерий Лебега
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.3 ''' (10.11.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:3. Сведение кратного интеграла к повторному
 +
 
 +
::3.1 Порядок суммирования в интегральной сумме
 +
 
 +
::3.2 Принцип Кавальери. Пример Архимеда
 +
 
 +
::3.3 Проектируемая область и ее измеримость по Жордану
 +
 
 +
::3.4 Интеграл по проектируемой области. Теорема Фубини
 +
 
 +
:4. Свойства кратного интеграла
 +
 
 +
::4.1 Свойства интеграла как функционала
 +
 
 +
::4.2 Свойства интеграла как функции множества
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.4 ''' (17.11.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:5. Криволинейные координаты
 +
 
 +
::5.1 Полярные координаты
 +
 
 +
::5.2 Цилиндрические координаты
 +
 
 +
::5.3 Сферические координаты
 +
 
 +
::5.4 Ортогональная система координат
 +
 
 +
:6. Замена переменных в кратном интеграле
 +
 
 +
::6.1 Линейное преобразование и преобразование площади
 +
 
 +
::6.2 Диффеоморфизм и преобразование площади
 +
 
 +
::6.3 Внешнее умножение дифференциалов
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.5 ''' (24.11.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:7. Геометрические приложения кратного интеграла
 +
 
 +
::7.1 Объем, ограниченный графиком
 +
 
 +
::7.2 Площадь поверхности
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.6 ''' (01.12.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
:8. Несобственный кратный интеграл
 +
 
 +
::8.1 Интеграл по неограниченному множеству
 +
 
 +
::8.2 Интеграл от неограниченной функции
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.7 ''' (08.12.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
 
 +
</div></div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
''' Лекция 2.8 ''' (15.12.20) [ Видео]
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display: none;">
 +
Изопериметрическое неравенство
 +
</div></div>
 +
 
 +
=== Коллоквиум 2 ===
 +
 
 +
[ Вопросы]
 +
 
 +
Коллоквиум состоится ... Материал лекции 15.12 в него не войдет.
 +
 
 +
== Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены ==
  
 
=== О домашних заданиях ===
 
=== О домашних заданиях ===
Строка 234: Строка 367:
  
 
Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).
 
Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).
 +
 +
=== Об экзаменах ===
 +
 +
На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал в экзамены не входит.
  
 
=== Модуль 1 ===
 
=== Модуль 1 ===
Строка 253: Строка 390:
  
 
''' Семинар 1.6 '''
 
''' Семинар 1.6 '''
Степенные ряды. Ряд Тейлора. [ Задачи]
+
Степенные ряды. Ряды Тейлора. [https://drive.google.com/file/d/1I_q3680gMj_S8oAFX7zVwhVU5vWXZhyB/view?usp=sharing Задачи]
  
 
''' Семинар 1.7 '''
 
''' Семинар 1.7 '''
Итоговое повторение по темам модуля. [ Задачи] - факультативно
+
Итоговое повторение по темам модуля. [https://drive.google.com/file/d/1uyr7JODtdJVIeGsqF-t6c-7-mVfiauML/view?usp=sharing Задачи] - факультативно
  
 
=== Модуль 2 ===
 
=== Модуль 2 ===
 +
 +
''' Семинар 2.1 '''
 +
Мера Жордана. [https://drive.google.com/file/d/1wnu5GBZyl1_gg25AbnID3Lb0uN4g4OAw/view?usp=sharing Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.2 '''
 +
Кратный интеграл Римана. [https://drive.google.com/file/d/1ApiMiFLy40cGulw-VYhLgtJoQ5jTyJGd/view?usp=sharing Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.3 '''
 +
Вычисление кратного интеграла. [ Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.4 '''
 +
Системы координат. [ Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.5 '''
 +
Замена переменных в кратном интеграле. [ Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.6 '''
 +
Геометрические приложения кратного интеграла. [ Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.7 '''
 +
Несобственный кратный интеграл. [ Задачи]
 +
 +
''' Семинар 2.8 '''
 +
Итоговое повторение по темам модуля. [ Задачи]
 +
 +
=== Экзамен 1 ===
 +
 +
Экзамен состоится ...
  
 
== Ведомость с оценками ==
 
== Ведомость с оценками ==

Версия 10:34, 27 октября 2020

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа 193 195 196 197 198 199 1910 1911
Лектор Маевский Е.В.
Семинарист Колесниче́нко Е.Ю. Днестрян А.И. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Маевский Е.В. Колесниче́нко Е.Ю. Томашевский С.В. Томашевский С.В.
Ассистент Вологодский Михаил Субхангулов Султан Лямзин Алексей Паузнер Илья Сухарьков Александр Семерова Елена Цыганов Артем Сухарьков Александр

Приемные часы

Преподаватель понедельник вторник среда четверг пятница
Маевский Евгений Валерьевич почта: emaevskiy@mail.ru или телеграм: @emaevskiy
Колесниче́нко Елена Юрьевна
Днестрян Андрей Игоревич
Томашевский Сергей Владимирович

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2020/2021 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы, интегралы с параметром, ряды и преобразование Фурье, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы комплексного анализа. Рассчитан на 2 семестра (4 модуля).

Лекции и коллоквиумы

О коллоквиумах

Вопросы к коллоквиуму - это теоретическая часть домашнего задания. В основном, это вопросы на знание формулировок и приведение примеров. Вопросы на доказательство включены только в том случае, когда: соответствующее рассуждение было показано на лекции или/и доказательство записывается в пару строк и требует не более нескольких минут времени.

По формату наш коллоквиум будет скорее выглядеть как письменный зачет по теории, а не как классический коллоквиум. Это объясняется тем, что я бы хотел для единообразия принять его у всех единолично. Но побеседовать со всеми студентами потока у меня, к сожалению, не получится чисто физически.

Формат коллоквиума (очно). Две части: первая и вторая. Первая часть (30 минут, 6 баллов). Письменно ответить на 2 вопроса: доказать утверждение (3 балла) и привести пример с обоснованием (3 балла). Вторая часть (10 минут, 4 балла). Письменно дать 2 определения (по 2 балла за каждое).

Формат коллоквиума (дистанционно). Тест из 20 вопросов на 30 минут. Выполняется на e-math.ru. Логины-пароли для входа будут высланы на личные e-mail. Просьба заранее проверить работоспособность паролей. Внимание! Вход на сайт только через браузер Mozilla Firefox.

О лекциях

Размещенные по ссылкам в оглавлении лекций дополнительные видео-материалы (обычно содержащие полные доказательства и дополнительные примеры) необязательны для изучения, но могут быть небезынтересны для отдельных интересующихся студентов.

Ссылка вида [Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.

Модуль 1

Лекция 1.1 (01.09.20) Видео

Лекция 1.4 (22.09.20) Видео

Лекция 1.5 (29.09.20) Видео

Лекция 1.6 (06.10.20) Видео

Лекция 1.7 (13.10.20) Видео

Десерт

Коллоквиум 1

Вопросы

Коллоквиум состоится 17 октября (суббота) в 16:20 (Московское время). Материал лекции 13.10 в него не войдет. Коллоквиум пройдет в дистанционном формате для всех групп. Дополнительные инструкции смотрите на почте.

Модуль 2

Лекция 2.1 (27.10.20) [ Видео]

Лекция 2.2 (03.11.20) [ Видео]

Лекция 2.3 (10.11.20) [ Видео]

Лекция 2.4 (17.11.20) [ Видео]

Лекция 2.5 (24.11.20) [ Видео]

Лекция 2.6 (01.12.20) [ Видео]

Лекция 2.7 (08.12.20) [ Видео]

Лекция 2.8 (15.12.20) [ Видео]

Коллоквиум 2

[ Вопросы]

Коллоквиум состоится ... Материал лекции 15.12 в него не войдет.

Семинары, домашние задания, самостоятельные работы и экзамены

О домашних заданиях

К каждому семинару выдается список задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре, остальное - ДЗ.

Задачи со звездочками предназначены для интересующихся студентов. Эти задачи не проверяются и никак не учитываются.

О самостоятельных работах

На следующем семинаре проводится самостоятельная работа по темам предыдущего семинара. Каждому студенту предлагается решить 1 задачу, аналогичную задачам из списка. Самостоятельная оценивается по системе 0-1-2.

Если студент пропустил самостоятельную по уважительной причине, то ему предлагается альтернатива. Либо он пишет работу в присутствии преподавателя в дополнительное время (и тогда работа оценивается по той же системе 0-1-2), либо он получает задание и пишет работу в свободном режиме дома (и тогда работа оценивается по системе 0-1).

Об экзаменах

На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал в экзамены не входит.

Модуль 1

Семинар 1.1 Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Задачи

Семинар 1.2 Положительные ряды. Задачи

Семинар 1.3 Знакопеременные ряды. Задачи

Семинар 1.4 Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. Задачи

Семинар 1.5 Исследование сходимости функциональных рядов. Задачи

Семинар 1.6 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Задачи

Семинар 1.7 Итоговое повторение по темам модуля. Задачи - факультативно

Модуль 2

Семинар 2.1 Мера Жордана. Задачи

Семинар 2.2 Кратный интеграл Римана. Задачи

Семинар 2.3 Вычисление кратного интеграла. [ Задачи]

Семинар 2.4 Системы координат. [ Задачи]

Семинар 2.5 Замена переменных в кратном интеграле. [ Задачи]

Семинар 2.6 Геометрические приложения кратного интеграла. [ Задачи]

Семинар 2.7 Несобственный кратный интеграл. [ Задачи]

Семинар 2.8 Итоговое повторение по темам модуля. [ Задачи]

Экзамен 1

Экзамен состоится ...

Ведомость с оценками

193 195 196 197 198 199 1910 [ 1911]

Формы контроля и оценивание

В течение года установлены следующие формы контроля:

  • 2 письменных экзамена (e1, e2 - 10-балльные оценки за экзамены);
  • 4 коллоквиума (k1, k2, k3, k4 - 10-балльные оценки за коллоквиумы);
  • некоторое число самостоятельных работ (s1, s2, s3, s4 - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале).

Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги.

Итоговая оценка 1-го семестра:

i1=0.125(s1+s2+k1+k2)+0.5e1

Если s1+s2+k1+k2≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e1=10.

Итоговая оценка 2-го семестра:

i2=0.125(s3+s4+k3+k4)+0.5e2

Если s3+s4+k3+k4≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=10.

Итоговая оценка за курс:

i=0.5(i1+i2)

(округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

[Ф] Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1969.

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Классический учебник анализа, выдержавший многократные переиздания и вошедший в классику математической литературы (первое издание - 1949 г.). По широте охвата материала, количеству разобранных примеров, качеству и доступности объяснений - возможно, до сих пор непревзойден. Некоторая терминология устарела. Отсутствует современная теория интегрирования (дифференциальные формы и общая теорема Стокса).

[З] Зорич В.А. - Математический анализ, 2019

Часть 1 Часть 2

Замечательный современный учебник анализа. Теория рядов изложена, возможно, недостаточно подробно. В остальном - прекрасно дополняет учебник Фихтенгольца.

[Ш] Шабат Б.В. - Введение в комплексный анализ, 1976.

Часть 1

Современный учебник по комплексному анализу, написанный понятным языком и содержащий хорошие примеры. Нам понадобится только первая часть. Вторая часть - по многомерному комплексному анализу - совершенно выходит за рамки нашего курса.

[Д] Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу, любое издание

Например, это

Классический задачник по математическому анализу. Если кто забыл о чем было в первой части курса анализа - вам сюда. Решайте задачи, повторяйте, тренируйтесь. Без уверенного владения матанализом-1 вы не освоите матанализ-2.

[С] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018

Обычно пользуюсь этим задачником при планировании семинарских занятий.