Математический анализ - 2.1 (2021/22)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	203	205	206	207	208	209	2010
Лектор	Маевский Е.В.
Семинарист	Колесниче́нко Е.Ю.		Маевский Е.В.	Маевский Е.В.	Маевский Е.В.	Колесниче́нко Е.Ю.
Ассистент

Приемные часы

Преподаватель	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
Маевский Евгений Валерьевич	почта: emaevskiy@mail.ru или телеграм: @emaevskiy
Колесниче́нко Елена Юрьевна
Лукьяненко Никита Сергеевич

О курсе

Данный курс Математический анализ - 2 читается в 2021/2022 учебном году на основном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ. Курс разбит на 2 части: 2.1 (первый семестр) и 2.2 (второй семестр).

Курс первого семестра состоит из следующих разделов: числовые и функциональные ряды, кратные интегралы.

Лекции и зачеты по теории

О лекциях

[Ф123] - это ссылка на пункт (в данном случае - 123) в учебнике Фихтенгольца издания 1969г. Нумерация пунктов в этом учебнике сплошная.

[З11.6] - это ссылка на главу 11, параграф 6 в учебнике Зорича. Нумерация глав - сплошная.

О зачетах по теории

Письменный зачет по теории проводится на последнем семинаре модуля. Состоит из 3 теоретических заданий на 80 минут.

Модуль 1

Лекция 1.1 (06.09.21) [ Видео]

I. Числовые и функциональные ряды

1. Введение

1.1 Зачем нужны ряды

1.2 Основные понятия [Ф362]

1.3 Необходимое условие сходимости ряда [Ф364]

1.4 Критерий Коши сходимости ряда [Ф376]

1.5 Примеры

2. Положительные ряды

2.1 Введение [Ф365]

2.2 Признаки сравнения [Ф366]

2.3 Отсутствие универсального ряда сравнения [Ф375]

Лекция 1.2 () [ Видео]

2.4 Признак Лобачевского - Коши [Ф375]

2.5 Оценка частичных сумм гармонического ряда

2.6 Признак Даламбера и радикальный признак Коши [Ф368]

2.7 Признак Гаусса [Ф372]

2.8 Сравнение с интегралом [Ф373]

2.9 Улучшение сходимости ряда [Ф415]

Дополнение. Теорема Штольца [Ф33]

Лекция 1.3 () [ Видео]

3. Знакопеременные ряды

Внимание! В учебнике Фихтенгольца другая (устаревшая) терминология (знакопеременным рядом там называется то, что теперь принято называть знакочередующимся).

3.1 Абсолютная и условная сходимость. Положительная и отрицательная части ряда

3.2 Мажорантный признак Вейерштрасса

3.3 Группировка членов ряда. Приведение знакопеременного ряда к знакочередующемуся

3.4 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

3.5 О неприменимости эквивалентности и применении асимптотики общего члена

3.6 Формула суммирования по частям. Признаки Абеля и Дирихле

3.7 Влияние перестановки членов на сумму ряда

Лекция 1.4 () [ Видео]

3.8 Умножение рядов

4. Бесконечные произведения

4.1 Основные понятия

4.2 Сходимость бесконечного произведения

4.3 Абсолютная сходимость бесконечного произведения

4.4 Примеры (произведение Валлиса и тождество Эйлера для ζ-функции Римана)

5. Функциональные последовательности

5.1 Поточечная и равномерная сходимость

5.2 Равномерная норма. Критерий Коши равномерной сходимости

5.3 Сходимость последовательности непрерывных функций. Теорема Дини о монотонной сходимости

5.4 Неравномерная сходимость: локализация особенности

Лекция 1.5 () [ Видео]

5.5 Свойства равномерно сходящейся последовательности

6. Равномерная сходимость функционального ряда

6.1 Основные понятия

6.2 Необходимое условие равномерной сходимости

6.3 Критерий Коши равномерной сходимости

6.4 Признаки Вейерштрасса и Даламбера

6.5 Признак Лейбница

6.6 Признаки Дирихле и Абеля

6.7 Свойства равномерно сходящегося ряда

Лекция 1.6 () [ Видео]

7. Степенные ряды

7.1 Основные понятия

7.2 Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал сходимости

7.3 Сходимость степенного ряда в граничной точке интервала сходимости

7.4 Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

7.5 Ряд Тейлора. Оценки для остатка ряда

7.6 Ряды Тейлора основных элементарных функций

Лекция 1.7 () [ Видео]

7.7 Треугольник Бернулли - Эйлера и разложения tg и sec

7.8 Радиус сходимости и экспоненциальное убывание коэффициента

8 Степенной ряд от комплексной переменной

8.1 Признак Абеля и теорема Абеля. Радиус сходимости. Круг сходимости

8.2 Аналитическая функция. Особые точки

8.3 Основные элементарные функции комплексной переменной

8.4 Формула Эйлера для комплексной экспоненты

Зачет 1

[ Вопросы]

Семинары, домашние задания и экзамен

О семинарах

К каждому семинару выдается листок со списком задач. Некоторые задачи из этого списка рассматриваются на семинаре. На последнем семинаре модуля проводится письменный зачет по теории.

О домашних заданиях

В листке отдельно указано ДЗ, состоящее из 2 задач. ДЗ необходимо сдать, по согласованию, семинаристу или ассистенту в день следующего семинара (1-е ДЗ сдается в день 2-го семинара и т.д.). Формат выполнения ДЗ - письменный от руки или электронный (скан/фото или набранный в TeXe) - по согласованию с семинаристом и ассистентом. На последнем семинаре модуля ДЗ не выдается.

Каждая задача ДЗ оценивается по системе 0-1-2 (без дробных баллов). Таким образом, за одно ДЗ можно получить от 0 до 4 баллов. Баллы за ДЗ в течение модуля суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу. Получаются оценки d1, d2.

Об экзамене

На экзамен выносятся все темы, пройденные на семинарах, кроме тем последних семинаров модулей. Для подготовки рекомендуется решать задачи из соответствующих списков. Теоретический материал (в том числе теоретические задачи) в экзамен не входит.

Модуль 1

Семинар 1.1 Частичная сумма ряда. Необходимое условие сходимости. [ Задачи]

Семинар 1.2 Положительные ряды. [ Задачи]

Семинар 1.3 Знакопеременные ряды. [ Задачи]

Семинар 1.4 Бесконечные произведения. Функциональные последовательности. [ Задачи]

Семинар 1.5 Исследование сходимости функциональных рядов. [ Задачи]

Семинар 1.6 Степенные ряды. Ряды Тейлора. [ Задачи]

Семинар 1.7 Зачет-1