Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2022/2023 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ221-1	БПМИ221-2	БПМИ222	БПМИ223-1	БПМИ223-2	БПМИ224
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Дима Трушин		Юля Зайцева	Дима Трушин		Сергей Смирнов
Ассистент	Полина Шайдурова	Игорь Маркелов	Денис Башарин	Полина Шайдурова	Игорь Маркелов	Юра Кулев

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота	воскресенье
1	Дима Трушин			17:00 S808
2	Юля Зайцева				16:20-18:00 очно			19:00-20:00 онлайн
3	Сергей Смирнов

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (07.09.2022). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (14.09.2022). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (21.09.2022). Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Блочные элементарные преобразования. Лемма об изменении множества решений при выкидывании уравнения в ступенчатом виде. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

Лекция 4 (28.09.2022). Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы.

Лекция 5 (05.10.2022). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки. Декремент.

Лекция 6 (12.10.2022). Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Доказательство импликации (II)=>(I).

Лекция 7 (19.10.2022). Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы.

Лекция 8 (02.11.2022). Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 9 (09.11.2022). Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель.

Лекция 10 (16.11.2022). Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел: вспомогательные утверждения (1), (2) и (3), сведение доказательства теоремы к (2) и (3), вывод (2) из (1), доказательство (1) и (3). Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость.

Лекция 11 (23.11.2022). Порождающая система, линейная оболочка. Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Базисы, матрица перехода, смена координат.

Лекция 12 (30.11.2022). Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Лекция 13 (07.12.2022). Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

Лекция 14 (14.12.2022). Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

3-4 модули

Лекция 15 (11.01.2023). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора.

Лекция 16 (18.01.2023). Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектором, кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

Лекция 17 (25.01.2023). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах хар многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр.

Лекция 18 (01.02.2023). Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств. Геометрический смысл кратности корня минимального и характеристического многочленов. Минимальные инвариантные в собственном подпространстве для идеального спектра.

Лекция 19 (08.02.2023). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

Лекция 20 (15.02.2023). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность. Классификация линейных операторов.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 22 октября включительно

в период с 16 по 22 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 17 декабря включительно

в период с 11 по 17 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 18 марта включительно

в период с 12 по 18 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ-1

Условия с заданиями

• 221
• 222
• 223
• 224

Дедлайн -- 23:00 19-го октября.

ИДЗ-2

Условия с заданиями

• 221
• 222
• 223
• 224

Дедлайн -- 23:00 25-го ноября.

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1 (3-й модуль)

Ссылка на описание лабораторной со всеми ссылками и инструкциями.

Лабораторную надо сдать в систему anytask. Ниже инвайты для всех групп

221	222	223	224
gZABVFW	anmOY7I	kXHuXNE	lI3Y7Q3

Контрольные работы

2-й модуль

• Условие контрольной работы

Коллоквиумы

2-й модуль

• Вопросы на определения
• Вопросы на доказательства

Экзамен

2-й модуль

Экзамен пройдет 28-го декабря с 11:00. Очная часть будет в аудитории R401. Online часть будет проходить в Зум.

• Файл с правилами для очной части.

• Файл с правилами для online части.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

221

222

223

224

Результаты сдачи задач из листков

221	222	223	224

Результаты 1-й контрольной работы

221	222	223	224

Сводные таблицы с оценками

221	222	223	224

Ссылки

• Общие

1. Канал в Telegram
2. Лекции на github.
3. Алгоритмы

• Группа 221

1. Группа в Telegram
2. Материалы семинаров и домашние задания

• Группа 223

1. Группа в Telegram
2. Материалы семинаров и домашние задания

Литература

Учебники

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.