Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2021/2022 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Ведомости текущего контроля)
(Ведомости текущего контроля)
(не показано 9 промежуточных версии 2 участников)
Строка 62: Строка 62:
  
 
'''Лекция 10''' (15.11.2021) [[https://www.youtube.com/watch?v=Sp3k21LHg84 '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1l_OqXYJlsp7v1jDq-Hc3pAbHChkt3qzm/view?usp=sharing '''снимок доски'''], [https://drive.google.com/file/d/1CNJu8QV-H63MWEnEq4xdqpBuOtGJ02JY/view?usp=sharing '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
 
'''Лекция 10''' (15.11.2021) [[https://www.youtube.com/watch?v=Sp3k21LHg84 '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1l_OqXYJlsp7v1jDq-Hc3pAbHChkt3qzm/view?usp=sharing '''снимок доски'''], [https://drive.google.com/file/d/1CNJu8QV-H63MWEnEq4xdqpBuOtGJ02JY/view?usp=sharing '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
 +
 +
'''Лекция 11''' (22.11.2021) [[https://www.youtube.com/watch?v=zHGW2Xb_N2A '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/15BH4sLlxSSXa5xhE7jR6z7RzH4F3-evL/view?usp=sharing '''снимок доски'''], [https://drive.google.com/file/d/1nfozD4FwMFdnDm6VkX4eAbjILUqkJRPv/view?usp=sharing '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.
 +
 +
'''Лекция 12''' (29.11.2021) [[https://www.youtube.com/watch?v=lxGgq6ykbOk '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1ofcR_0qxzjsGfQg938ODK4qZphjlI5r1/view?usp=sharing '''снимок доски''']]. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.
  
 
= Листки с задачами =
 
= Листки с задачами =
Строка 98: Строка 102:
  
 
[https://docs.google.com/document/d/1esTDkR75DKPbgOGqRgpO3SDGIVTUj9vBW3ibOO9SGYA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']
 
[https://docs.google.com/document/d/1esTDkR75DKPbgOGqRgpO3SDGIVTUj9vBW3ibOO9SGYA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']
 +
 +
[https://docs.google.com/document/d/1CR5TkmTAAnTKeS_sg8bqr5qV1jTqyrccYxfMNnUshDA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']
  
 
= Лабораторные работы =
 
= Лабораторные работы =
Строка 150: Строка 156:
  
 
= Коллоквиумы =
 
= Коллоквиумы =
 +
 +
== 2-й модуль ==
 +
 +
Распределение групп по дням:
 +
 +
3 декабря: 216, 2110, 219, 213 (в таком порядке)
 +
 +
4 декабря: 218, 215, 217, 2112-2, 2111, 2112-1 (в таком порядке)
 +
 +
'''Материалы для подготовки:'''
 +
 +
[https://drive.google.com/file/d/1XNyO2ECNbphfncEJ7TY4QtvBd0wUkm-8/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']
 +
 +
[https://drive.google.com/file/d/19s_6PEaXWBFsdbAJ0111Ye5xkSJPE9rt/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']
 +
 +
'''Формат проведения:'''
 +
 +
Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, которые нужно отвечать без подготовки (например, начиная с самого простого для студента). Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.
 +
 +
Этап 2 (8 баллов). Студенту выдаются 4 вопроса на доказательство. На их написание даётся 40 минут (под наблюдением проктора), после чего начинается опрос. По результатам собеседования выставляется оценка.
  
 
= Экзамены =
 
= Экзамены =
Строка 178: Строка 204:
 
!  [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1697515667 213] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=816668604 215] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=458782119 216] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1181982027 217] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=2074432488 218] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1003272547 219] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=875295647 2110] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=379779270 2111] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1051002935 2112]
 
!  [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1697515667 213] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=816668604 215] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=458782119 216] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1181982027 217] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=2074432488 218] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1003272547 219] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=875295647 2110] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=379779270 2111] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/11uDdlRGMZVgPfrUnLjFXWvFX_AJxRTFcve9miGiideE/edit#gid=1051002935 2112]
 
|}
 
|}
 +
 +
'''Сводные таблицы с оценками'''
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|-
 +
!  [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=1697515667 213] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=816668604 215] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=458782119 216] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=1181982027 217] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=2074432488 218] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=1003272547 219] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=875295647 2110] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=379779270 2111] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17SuiiUNMrhtfFH-UHi2jopZ8D4Hpu093Buocn35rSFk/edit#gid=1051002935 2112]
 +
|}
 +
 +
= Кстати =
 +
 +
Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова <i>вектор</i>&nbsp;&mdash; это <i>ве́кторы</i>.
  
 
= Ссылки =
 
= Ссылки =

Версия 22:45, 3 декабря 2021

Telegram-канал: https://t.me/joinchat/j7XoYAs9QHQ0MDg6

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ213 БПМИ215 БПМИ216 БПМИ217 БПМИ218 БПМИ219 БПМИ2110 БПМИ2111 БПМИ2112
Лектор Роман Авдеев
Семинарист Дима Трушин Роман Авдеев Станислав Федотов Алёна Зароднюк Сергей Смирнов Антон Шафаревич Юлия Зайцева
Ассистент Игорь Маркелов Айдар Амрин Катя Магдецкая Даша Жукова Александра Глинник Александра Иевлева Саидакбар Газиев Максим Кузьмин Рита Арунова
Ассистент курса Ваня Пешехонов

Расписание консультаций

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Бонус:

  • Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,4*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,16*Oк/р + 0,16*Oд/з + 0,08*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (6.09.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

Лекция 2 (13.09.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

Лекция 3 (20.09.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

Лекция 4 (27.09.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

Лекция 5 (4.10.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

Лекция 6 (11.10.2021) [видеозапись, снимок доски]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

Лекция 7 (14.10.2021) [видеозапись, снимок доски]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

Лекция 8 (1.11.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

Лекция 9 (8.11.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

Лекция 10 (15.11.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Лекция 11 (22.11.2021) [видеозапись, снимок доски, слайды]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

Лекция 12 (29.11.2021) [видеозапись, снимок доски]. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 30 октября включительно

в период с 17 по 30 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 18 декабря включительно

в период с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

1-2 модули

ИДЗ-1

ИДЗ-2

ИДЗ-3

ИДЗ-4

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

213 215 216 217 218 219 2110 2111 2112
nZiEOg0 Bl3s2Nl own97kS srvELAB foRaCj1 RMvW2bu sM8u8QJ NbheJB5 DGfGDud

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

22 ноября 23:59 для групп 216–2112

24 ноября 23:59 для групп 213, 215

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 11 ноября, 15:00

Организационная информация по проведению контрольной

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.

  • Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
  • Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
  • Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
  • Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
  • Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
  • Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

Коллоквиумы

2-й модуль

Распределение групп по дням:

3 декабря: 216, 2110, 219, 213 (в таком порядке)

4 декабря: 218, 215, 217, 2112-2, 2111, 2112-1 (в таком порядке)

Материалы для подготовки:

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Формат проведения:

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, которые нужно отвечать без подготовки (например, начиная с самого простого для студента). Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студенту выдаются 4 вопроса на доказательство. На их написание даётся 40 минут (под наблюдением проктора), после чего начинается опрос. По результатам собеседования выставляется оценка.

Экзамены

Формат проведения: письменная работа

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

213 215 216 217 218 219 2110 2111 2112

Результаты сдачи задач из листков

213 215 216 217 218 219 2110 2111 2112

Результаты 1-й контрольной работы

213 215 216 217 218 219 2110 2111 2112

Сводные таблицы с оценками

213 215 216 217 218 219 2110 2111 2112

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Ссылки

  • Группа 213
  1. Группа в телеграм
  2. Материалы к семинарам

Литература

Учебники

  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007