Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2019/2020 (пилотный поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Расписание консультаций)
(консультации)
Строка 23: Строка 23:
 
| <center>2</center> || Антон Шафаревич || ||  ||  || 16:30&ndash;18:00, ауд. G003 ||  
 
| <center>2</center> || Антон Шафаревич || ||  ||  || 16:30&ndash;18:00, ауд. G003 ||  
 
|-
 
|-
| <center>3</center> || Сергей Гайфуллин || || || ||  15:10&ndash;16:30, ауд. S913||  
+
| <center>3</center> || Сергей Гайфуллин || || ||[https://us02web.zoom.us/j/82828742502 18:10&ndash;19:30] ||  ||  
 
|-
 
|-
 
| <center>4</center> || Илья Паузнер || || || ||  ||  
 
| <center>4</center> || Илья Паузнер || || || ||  ||  

Версия 00:31, 29 апреля 2020

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ191 БПМИ192 БПМИ194
Лектор Дима Трушин
Семинарист Дима Трушин Антон Шафаревич Сергей Гайфуллин
Ассистент Илья Паузнер Вадим Павлов Данил Колядин

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Дима Трушин zoom с 16:00
2
Антон Шафаревич 16:30–18:00, ауд. G003
3
Сергей Гайфуллин 18:10–19:30
4
Илья Паузнер
5
Вадим Павлов
6
Данил Колядин 16:40–18:00

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

  • Устная сдача задач из листков


Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.


Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (12.09.2019). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (19.09.2019). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц в терминах ОСЛУ.

Лекция 3 (26.09.2019). 6 эквивалентных условий обратимости матрицы. Массовое решение СЛУ. Поиск обратной матрицы Гауссом. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений. Блочные формулы умножения матриц.

Лекция 4 (03.10.2019) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы. Примеры матричных норм. Понятие о согласованной норме. Краткий обзор того, для чего нужны нормы: понятие расстояния между матрицами, сходимость, вычисление гладких функций от матриц.

Лекция 5 (10.10.2019). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки.

Лекция 6 (17.10.2019). Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Доказательство эквивалентности второго и третьего подходов.

Лекция 7 (30.10.2019). Доказательство эквивалентности (I) и (II) для определителей. Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы.

Лекция 8 (06.11.2019). Формулы Крамера. Характеристический многочлен и его связь со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 9 (13.11.2019). Поля. Определение поля и изоморфизма полей. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 10 (20.11.2019). Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка. Три эквивалентных определения базиса. Линейные отображения и изоморфизмы векторных пространств.

Лекция 11 (27.11.2019). Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Фундаментальная система решений (ФСР). Базисы, матрица перехода, смена координат. Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение.

Лекция 12 (04.12.2019). Совпадение минорного ранга с остальными. Теорема Кронекера-Капелли. Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

Лекция 13 (11.12.2019). Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Оценка ранга произведения матриц снизу. Прямая сумма подпространств.

Лекция 14 (18.12.2019). Линейные операторы, матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Неболее чем одномерные инвариантные подпространства и собственные векторы, собственные значения. Связь собственных значений со спектором. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Собственные подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

3-4 модули

Лекция 15 (15.01.2020). Напоминание о линейных операторах. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Напоминание о собственных и корневых подпространствах. Классификационный результат для линейных отображений. Объявлена цель: классификационный результат для линейных операторов. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

Лекция 16 (20.01.2020). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах хар многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены.

Лекция 17 (29.01.2020). Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств. Геометрический смысл кратности корня минимального и характеристического многочленов.

Лекция 18 (05.02.2020). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Высота вектора для нильпотентного оператора. Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток. Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность.

Лекция 19 (12.02.2020). Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

Лекция 20 (19.02.2020). Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения. Тензоры. Билинейные отображения и универсальная операция умножения. Примеры. Единственность универсальной операции.

Лекция 21 (26.02.2020). Достаточные условия универсальности операции умножения. Существование тензорного произведения (конструкция через базисы), независимость конструкции от базиса. Размерность тензорного произведения. Примеры: 1) тензорное произведение с полем, 2) тензорное прозиведение F^n и F^m, 3) Линейные отображения как тензорное произведение. Индуцированное линейное отображение на тензорном произведении. Линейная независимость с векторными коэффициентами.

Лекция 22 (04.03.2020). Тензорное произведение нескольких подпространств. Свертка. Примеры: 1) след как свертка, 2) композиция линейных отображений как свертка. Тензоры на пространстве V типа (p, q). Обозначения Эйнштейна. Смена базиса. Примеры: 1) тензоры типа (1,0) -- вектры, 2) тензоры типа (0, 1) -- линейные функции, 3) тензоры типа (1, 1) -- линейные операторы. Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряженным. Матрица билинейной формы.

Лекция 23 (11.03.2020). Матрица билинейной формы, замена матрицы билинейной формы при смене координат, матричный формализм. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Свойство симметричности и кососимметричности формы на одном пространстве. Обсуждение того, какие матричные характеристики являются инвариантами формы: (1) ранг, (2) след не является, (3) определитель по модулю квадратов ненулевых чисел, (4) невырожденность матрицы, симметричность и кососимметричность. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер. Двоейственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы.

Лекция 24 (25.03.2020). Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. Структура векторного пространства на билинейных формах, изоморфизм на матрицы. Классификационное утверждение о том, что две матрицы задают одну и ту же билинейную форму на паре разных пространств тогда и только тогда, когда их ранги совпадают. Билинейные формы на одном пространстве, замечание про характеристику поля 2. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 октября включительно

в период с 14 по 19 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Листок 4. Конусы

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

191 192 194
T6h8KuG XeUrT8Q mV0yOvS

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

  • 10 декабря 23:00 для 192 и 194
  • 12 декабря 23:00 для 191

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 16 ноября, 16:40–21:00 аудитории R206 и R306 ВНИМАНИЕ аудитории изменились еще раз!

Распределение групп по аудиториям

R206: 191-1, 191-2, 192-1

R306: 192-2, 194-1, 194-2

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Коллоквиумы

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

2-й модуль

Дата проведения: 14 декабря аудитории

  • С 9:00 (1-я пара) R301
  • С 15:10 (5-я пара) R404

Распределение по времени:

  • 191-1 — 10:30
  • 191-2 — 11:40
  • 192-1 — 12:50
  • 192-2 — 14:00
  • 194-1 — 15:10
  • 194-2 — 16:20

Формат проведения:

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает билет на 5 определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений. Ответ оценивается с шагом 0,5.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4 вопросами на доказательство. Стоимость вопросов: 1/2/2/3. На написание первых двух вопросов даётся 30 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности. Эта часть сдается одному принимающему.

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 26 декабря, время начала 13:40, аудитории R406, R407, R408

Условия задач с экзамена

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

191 192 194

Результаты сдачи задач из листков

191 192 194

Результаты 1-й контрольной работы

191 192 194

Сводные таблицы с оценками

191 192 194

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

191 192 194

Результаты сдачи задач из листков

191 192 194

Ссылки

Литература

Учебники

  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.