Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2019/2020 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Ведомости текущего контроля)
(Листки с задачами)
Строка 122: Строка 122:
 
[https://www.dropbox.com/s/j1u668werpnpyeo/LA_19-20_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц
 
[https://www.dropbox.com/s/j1u668werpnpyeo/LA_19-20_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц
  
Сроки сдачи листка 2 будут объявлены позднее
+
Сроки сдачи листка 2:
 +
 
 +
задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно
 +
 
 +
в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач
  
 
= Индивидуальные домашние задания =
 
= Индивидуальные домашние задания =

Версия 23:17, 8 декабря 2019

Telegram-канал: https://t.me/joinchat/AAAAAFTX5Y5Xjo2ceSgJmQ

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ193 БПМИ195 БПМИ196 БПМИ197 БПМИ198 БПМИ199 БПМИ1910 БПМИ1911 БПМИ1912
Лектор Роман Авдеев
Семинарист Дима Трушин Роман Авдеев Сергей Гайфуллин Айбек Аланов Антон Шафаревич Дарья Эдуардовна Алексеева Сергей Смирнов Станислав Федотов
Ассистент Сабина Даянова Мария Школьник Сергей Петрович Дмитрий Воронецкий Лев Ходжоян Константин Руденский Артём Цыганов Илья Анищенко Антон Медведев

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Роман Авдеев 15:40–17:40, ауд. S829
2
Дима Трушин с 15:40 ауд. S808
3
Сергей Гайфуллин 15:10–16:30, ауд. S913
4
Айбек Аланов 15:10–16:30, ауд. ??
5
Антон Шафаревич 16:30–18:00, ауд. G003
6
Дарья Алексеева 12:40–14:00 (предварительно связаться со мной)
7
Сергей Смирнов
8
Станислав Федотов
9
Сабина Даянова 15:10, ауд. R407
10
Мария Школьник 10.30 - 13.30, ауд. S320
11
Сергей Петрович 15:10, ауд.??
12
Дмитрий Воронецкий 16:40 (по предварительной просьбе)
13
Лев Ходжоян 18:00, ауд.??
14
Константин Руденский 17:00, ауд. M302
15
Артём Цыганов 16:40, ауд. S320
16
Илья Анищенко 13:40–15:00, ауд. пока ищется
17
Антон Медведев 15:10–16:30, ауд. S332

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Бонус:

  • Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,4*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,16*Oк/р + 0,16*Oд/з + 0,08*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (9.09.2019). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

Лекция 2 (12.09.2019). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы.

Лекция 3 (14.09.2019). Расширенная матрицы системы линейных уравнений. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

Лекция 4 (19.09.2019). Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Матричные уравнения вида AX=B и XA = B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Определение перестановки на множестве {1,2,...,n}.

Лекция 5 (23.09.2019). Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3.

Лекция 6 (26.09.2019). Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители.

Лекция 7 (30.09.2019). Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы.

Лекция 8 (2.11.2019). Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели.

Лекция 9 (7.11.2019). Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

Лекция 10 (14.11.2019). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства, примеры.

Лекция 11 (21.11.2019). Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства.

Лекция 12 (28.11.2019). Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 октября включительно

в период с 14 по 19 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ-1

ИДЗ-2

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

193 195 196 197 198 199 1910 1911 1912
Emb1Cjb rbWJB8G ZzM8jY2 eVKCMUY RUsujba vj08Ael PJfvz7A cLiaPHD McNPqn5

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

1 декабря 23:30 для групп 195–1912

3 декабря 23:30 для группы 193

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 16 ноября, 14:00–16:00

Распределение групп по аудиториям:

R201: 199, 1910, 1911, 1912

R204: 196, 197, 198

R503: 193, 195

Студенты ИБ пишут вместе с группами, к которым они прикреплены.

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.

  • Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
  • Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
  • Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
  • Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
  • Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
  • Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316

Коллоквиумы

Формат проведения коллоквиумов

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 30 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

2-й модуль

Даты коллоквиума: 6,7 декабря

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Распределение групп по дням и примерное распределение по времени (уточнённое будет известно только за день до коллоквиума):

6 декабря (аудитории: с 10:30 до 12:00 — R401, с 12:10 до 13:30 — R610, после 13:40 — R404)

10:30 1911-1

11:10 1911-2

12:00 199-2

12:40 199-1

13:40 198-1

14:30 198-2

16:00 193-2

16:40 193-1

17:30 195-2

7 декабря

9:30 197-2

10:30 1912-1

11:30 195-1

12:30 1910-1

13:30 1910-2

14:10 1912-2

15:00 197-1

15:40 196-2

16:30 196-1

Ведомости текущего контроля

Результаты проверки больших домашних заданий

193 195 196 197 198 199 1910 1911 1912

Результаты сдачи задач из листков

193 195 196 197 198 199 1910 1911 1912

Результаты 1-й контрольной работы

193 195 196 197 198 199 1910 1911 1912

Сводные таблицы с оценками

193 195 196 197 198 199 1910 1911 1912

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Литература

Учебники

  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.