Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2018/2019 (пилотный поток)

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Версия от 18:13, 22 июня 2019; Dima Trushin (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ181 БПМИ182 БПМИ184
Лектор Дмитрий Витальевич Трушин
Семинарист Дмитрий Витальевич Трушин Всеволод Леонидович Чернышев Полина Юрьевна Котенкова
Ассистент Даниил Тяпкин Илья Паузнер Роман Ильговский

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Дмитрий Витальевич Трушин 16:40–18:00, ауд. 503
2
Всеволод Леонидович Чернышев 18:10, ауд.400
3
Полина Юрьевна Котенкова
4
Даниил Тяпкин 12:10–13:30, ауд. 501
5
Илья Паузнер ~17:15 - 18:00
6
Роман Ильговский 13:40–15:00

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

  • Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (6.09.2018). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (14.09.2018). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц в терминах ОСЛУ.

Лекция 3 (20.09.2018). 6 эквивалентных условий обратимости матрицы. Поиск обратной матрицы Гауссом. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений. Блочные формулы умножения матриц. Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы.

Лекция 4 (27.09.2018). Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Наивный алгоритм поиска минимального многочлена в случае верхнетреугольных и блочно верхнетреугольных матриц. Матричные нормы, субмультипликативная норма для квадратных матриц. Примеры матричных норм. Понятие о согласованной норме. Примеры согласованных норм. Краткий обзор того, для чего нужны нормы: понятие расстояния между матрицами, сходимость, вычисление гладких функций от матриц.

Лекция 5 (11.10.2018). Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки.

Лекция 6 (13.10.2018). Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Доказательство эквивалентности всех трех определений.

Лекция 7 (18.10.2018). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы. Формулы Крамера. Характеристический многочлен и его связь со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена.

Лекция 8 (1.11.2018). Теорема Гамильтона-Кэли. Поля. Определение поля и изоморфизма полей. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель.

Лекция 9 (8.11.2018). Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка.

Лекция 10 (15.11.2018). Линейные оболочки. Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Фундаментальная система решений (ФСР).

Лекция 11 (22.11.2018). Базисы, матрица перехода, смена координат. Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность всех рангов при домножении на обратимую матрицу, совпадение всех рангов.

Лекция 12 (29.11.2018). Теорема Кронекера-Капелли. Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

Лекция 13 (06.12.2018). Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Оценка ранга произведения матриц снизу. Прямая сумма подпространств. Связь блочной структуры матрицы линейного отображения с разложением в прямую сумму.

Лекция 14 (13.12.2018). Линейные операторы, матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, спектр. Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Неболее чем одномерные инвариантные подпространства и собственные векторы, собственные значения. Связь собственных значений со спектором. Существование ненулевого собственного вектора над полем комплексных чисел. Собственные и корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

3-4 модули

Лекция 15 (10.01.2019). Напоминание о линейных операторах. Критерий обратимости в терминах ядра и образа. Напоминание о собственных и корневых подпространствах. Классификационный результат для линейных отображений. Объявлена цель: классификационный результат для линейных операторов. Линейная независимость подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора. Спектр ограничения оператора. Инвариантность образа и ядра для коммутирующих операторов. Спектр ограничения на корневое подпространство.

Лекция 16 (17.01.2019). Характеристический многочлен ограничения на корневое подпространство. Связь следа, определителя, характеристического многочлена и спектра оператора и его ограничений на прямые слагаемые. Разложение пространства в прямую сумму с помощью оператора со стабильным ядром. Геометрическая интерпретация кратности корня минимального многочлена. Геометрическая интерпретация кратности корня характеристического многочлена. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Лекция 17 (24.01.2019). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Высота вектора для нильпотентного оператора. Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток. Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и едниственность.

Лекция 18 (31.01.2019). Подготовка к ЖНФ для произвольного оператора (характеристический не обязательно раскладывается на линейные множители). Определение идеального спектра, как множество простых делителей характеристического многочлена. Определение корневого и собственного подпространства для элемента идеального спектра. Утверждение о разложении пространства в прямую сумму инвариантных, если минимальный многочлен есть произведение двух взаимно простых. Разложение всего пространства в прямую сумму корневых подпространств для произвольного оператора.

Лекция 19 (07.02.2019). Объяснение общей задачи о построении ЖНФ над произвольным полем. Объяснение, почему мы ограничимся вещественным полем. Утверждение о том, что над вещественным полем неприводимые делители минимального и характеристического многочлена совпадают. Теорема о существовании и единственности ЖНФ для вещественного поля.

Лекция 20 (14.02.2019). Функционалы: двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения и свойства функториальности звёздочки. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения.

Лекция 21 (21.02.2019). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряженным. Матрица билинейной формы, замена матрицы билинейной формы при смене координат, матричный формализм. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Свойство симметричности и кососимметричности формы на одном пространстве. Обсуждение того, какие матричные характеристики являются инвариантами формы: (1) ранг, (2) след не является, (3) определитель по модулю квадратов ненулевых чисел, (4) невырожденность матрицы, симметричность и кососимметричность. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер. Двоейственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы.

Лекция 22 (28.02.2019). Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. Примеры: ортогональное дополнение к корневому подпространству, ортогональное дополнение к собственному вектору, существование инвариантного n-1 мерного подпространства. Структура векторного пространства на билинейных формах, изоморфизм на матрицы. Классификационное утверждение о том, что две матрицы задают одну и ту же билинейную форму на паре разных пространств тогда и только тогда, когда их ранги совпадают. Билинейные формы на одном пространстве, замечание про характеристику поля 2. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве) в сумму симметрической и кососимметрической.

Лекция 23 (07.03.2019). Ограничение билинейной формы на подпространство, критерий ее невырожденности. Диагонализация симметрической билинейной форме в характеристике не 2, пример в недиагонализуемой формы в характеристике 2. Симметричный Гаусс. Методя Якоби и основанный на нем алгоритм приведения симметрической билинейной формы к диагональному виду.

Лекция 24 (14.03.2019). Многочлены на векторном пространстве, степень, однородность. Квадратичные формы, как однородные многочлены второй степени. Построение квадратичной формы по билинейной и поляризационная формула для построения билинейной формы по квадратичной (в характеристике не 2). Изоморфизм между симметричными билинейными формами и квадратичными формами в случае 2 не равно 0 в поле. Алгоритм лагранжа приведения к диагональному виду. Классификация билинейных форм: (1) над алгебраически замкнутым полем, (2) над полем вещественных чисел. В вещественном случае понятие индексов инерции и их корректность, критерий сильвестра положительной определенности формы. Примеры графиков квадратичных форм в R^2.

Лекция 25 (21.03.2019). Пример анализа поверхности с помощью квадратичных форм. Геометрический смысл сигнатуры. Евклидовы пространства. Ортогональные и ортонормированные базисы, матрицы перехода между ними. Классификация Евклидовых пространств. Сведение к школьной геометрии. Определение расстояния, углов. Неравенство Коши-Буняковского, Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта.

Лекция 26 (04.04.2019). Проекции и ортогональные составляющие. Явные формулы ортопроектора в ортонормированном базисе (БАБА, Атата). Растояние и углы. Неравенство треугольника, расстояние между множествами, расстояние от вектора до подпространства. Угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов. Матрица Грама. k-мерный параллелепипед. Объем k-мерного параллелепипеда. Формула объема через площадь основания на высоту. Формула расстояния от вектора до подпространства в терминах объемов.

Лекция 27 (11.04.2019). Ориентированный объем, ориентация базисов. Полуторалинейные формы, матрицы полуторалинейных форм. Эрмитово сопряжение. Сведение полуторалинейных форм к билинейным. Следствие: двойственность для подпространств относительно невырожденной полуторалинейной формы. Квадратичные фомры (соответствующие полуторалинейным формам) и их матрица, комплексная поляризационная формула, изоморфизм между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Симметричные полуторалинейные (эрмитовы) формы их свойства и теорема о классификации (диагонализуемость с вещественными числами). Понятие индексов инерции и их независимость от базиса. Положительная и отрицательная определенность форм.

Лекция 28 (18.04.2019). Метод Якоби и критерий Сильвестра для полуторалинейных форм. Эрмитово векторное пространство. Длина вектора, неравенство Коши-Буняковского, угол между векторами. Ортонормированные базисы в Эрмитовом пространстве и их классификация (описание с помощью унитарных матриц). Обзор геометрических понятий: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама и формальный объем. Комплексификация и овеществление векторного пространства. Базисы комплексификации и овеществления. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы.

Лекция 29 (25.04.2019). Связь характеристик оператора и его комплексификации. Связь характеристик билинейной формы и ее комплексификации. Операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах. Понятие движения (3 эквивалентных определения). Ортогональные и унитарные операторы. Оператор ортогонален тогда и только тогда, когда его комплексификация унитарна. Матрица движения в ортонормированном базисе. Спектр движения лежит на единичной окружности, собственные векторы движений для разных собственных значений ортогональны, ортогональное дополнение к инвариантному инвариантно.

Лекция 30 (16.05.2019). Классификация движений в эрмитовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы данный оператор стал движением. Классификация движений в евклидовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы данный оператор стал движением. Определение сопряженного оператора.

Лекция 31 (23.05.2019). Самосопряженный оператор и его простейшие свойства. Классификация самосопряженных операторов в эрмитовом и евклидовом пространстве. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Билинейные формы и операторы: изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Сингулярное разложение (SVD) линейного отображения.

Лекция 32 (30.05.2019). Единственность сингулярного разложения. Матричная форма SVD. Скалярное произведение в пространстве операторов и его матричная форма. Норма фробениуса. Задача о низкоранговом приближении. Решение задачи о низкоранговом приближении. Положительно определенные операторы и их свойства. Аффинные пространства. Понятие репера, аффинные координаты и формулы замены координат. Положительная декартова система координат.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать лектору или любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 20 октября включительно

в период с 15 по 20 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 марта включительно

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

181 182 184
MABXsbr aTUdIhX c1w4kuv

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

12 декабря 23:30 для всех групп

Лабораторная работа 2 (4-й модуль)

Файл с условием, а также остальные файлы лежат тут

Срок:

21 апреля 23:59 для всех групп

Лабораторная работа 3 (4-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

13 июня 23:59 для всех групп

Контрольные работы

2-й модуль

Дата: 10 ноября

Время и место проведения контрольной: 13:00–15:00, аудитория 622.

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

4-й модуль

Дата: 16 мая

Время и место проведения контрольной: 16:40–19:30, аудитория 622.

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Коллоквиумы

Формат проведения коллоквиумов

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (4 балла). Студент вытягивает билет с двумя вопросами (по 2 балла за каждый вопрос) из списка вопросов на доказательство, ему даётся 45 минут на подготовку, после чего принимающий (как правило, другой) проверяет результат. По результатам разговора выставляется оценка за этап 2.

Этап 3 (4 балла). Дальнейший опрос принимающего по программе, в ходе которого могут даваться задачи на понимание теории. По результатам опроса выставляется оценка за этап 3.

Прошу обратить внимание, что на этапах 2 и 3 проверяется знание доказательств, а не формулировок.

2-й модуль

Дата проведения: 15-ое декабря аудитория 509 со 2-ой пары (10:30).

Распределение по времени:

  • 182-2 — 10:30
  • 181-1 — 11:45
  • 181-2 — 13:00
  • 184-2 — 14:15
  • 184-1 — 15:30
  • 182-1 — 16:45

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 26 декабря, время начала 13:40, аудитории 317 и 509

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Аудитория 509 — 181-1, 181-2, 182-1

Аудитория 317 — 182-2, 184-1, 184-2

Условия задач с экзамена

Экзамен 4-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 19 июня, 10:30, аудитории 317 и 402

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Аудитория 402 — 181

Аудитория 317 — 182, 184

Условия задач с экзамена

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

181 182 184

Результаты сдачи задач из листков

181 182 184

Результаты 1-ой контрольной работы

181 182 184

Сводные таблицы с оценками

181 182 184

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

181 182 184


Результаты сдачи задач из листков

181 182 184

Результаты 2-й контрольной работы

181 182 184


Сводные таблицы с оценками

181 182 184

Ссылки

Литература

Учебники

  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.