Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ171	БПМИ172
Лектор	Дмитрий Игоревич Пионтковский
Семинарист	Всеволод Леонидович Чернышев	Дмитрий Игоревич Пионтковский
Ассистент	Мария Конькова	Максим Кузнецов

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Дмитрий Игоревич Пионтковский	15:30–16:30, ауд. 507	16:40–18:00, ауд. 507		13:40–15:00, Шаболовка, ауд.  5413
2	Всеволод Леонидович Чернышев					16:40–18:00, ауд.  622
7	Мария Конькова	15:10–16:30, ауд. 219
8	Максим Кузнецов	15:10–16:30, ауд. 304
9	Дарина Мадуар					12:10–13:30, ауд. 511

Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в канале.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.

Лекция 2 (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.

Лекция 3 (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.

Лекция 4 (5.10.2017). Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений. Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.

Лекция 5 (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.

Лекция 6 (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.

Лекция 7 (31.10.2017). Обратная матрица. Существование и единственность обратной матрицы у невырожденной матрицы. Формула обратной матрицы. Лемма о фальшивом разложении.

Определение линейного пространства.

Лекция 8 (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства.

Лекция 9 (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы (без доказательства).

Лекция 10 (21.11.2017). Ранг матрицы по столбцам и по строкам, их свойства. Теорема о ранге матрицы.

Лекция 11 (28.11.2017). Сумма Минковского двух подмножеств линейного пространства. Сумма и пересечения двух подпространств линейного пространства как подпространства, связь их размерностей. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общая формула решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Лекция 12 (5.12.2017). Поле. Линейное пространство над полем. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа, операции над комплексными числами и их геометрический смысл, извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

Лекция 13 (15.12.2017). Координаты вектора в конечномерном линейном пространстве, изменение координат при замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что два конечномерных пространства над одним полем изоморфны в том и только том случае, когда их размерности равны.

Лекция 14 (19.12.2017). Произведение треугольных матриц. LU разложение квадратной матрицы (при условии, что все ее угловые миноры, кроме максимального, ненулевые). Матрицы полного строчного и столбцового ранга. Разложение полного ранга (скелетное разложение) произвольной матрицы.

Лекция 15 (9.1.2018). Линейные отображения. Примеры: поворот, проекции; изоморфизм, линейный функционал, интегрирование и дифференцирование функций от действительных чисел, умножение данной матрицы на произвольный вектор. Матрица линейного отображения. Матрица замены координат как матрица тождественного оператора. Матрица композиции линейных отображений. Замена координат для матрицы линейного отображения. Невырожденность матрицы изоморфизма.

Лекция 16 (16.1.2018). Коммутативные диаграммы. Доказательство формулы замены координат для матрицы линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения, связь их размерностей с рангом матрицы линейного отображения. Ранг линейного отображения. Независимость следа и определителя матрицы линейного оператора от выбора базиса.

Лекция 17 (23.1.2018). Инвариантные подпространства линейного оператора. Инвариантность ядра и образа оператора. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого составляет базис инвариантного подпространства. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств и клеточно-диагональный вид матрицы линейного оператора. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора, его степень, старший коэффициент и младший коэффициент.

Лекция 18 (30.1.2018). Инвариантность характеристического многочлена. Формулы Виета для многочленов произвольной степени. Выражение коэффициентов характеристического многочлена линейного оператора через собственные числа. Выражение следа и определителя линейного оператора через собственные числа. Собственные подпространства. Инвариантность подпространств, порожденных собственными векторами. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Оператор простой структуры (диагонализуемый оператор). Пример диагонализуемого оператора: оператор, у которого все собственные значения имеют единичную кратность. Пример недиагонализуемого оператора: оператор дифференцирования многочленов степени не выше n.

Лекция 19 (6.2.2018). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у любого линейного оператора в конечномерном действительном пространстве. Корневые подпространства линейного оператора.

Лекция 20 (13.2.2018). Размерности корневых подпространств линейного оператора в конечномерном комплексном пространстве, разложение пространства в прямую сумму таких подпространств. Приведение матрицы такого линейного оператора к верхнетреугольному виду.

Лекция 21 (20.2.2018). Разложение конечномерного комплексного пространства в прямую сумму циклических подпространств нильпотентного линейного оператора. Теорема о существовании нормальной жордановой формы произвольного линейного оператора в конечномерном комплексном пространстве.

Лекция 22 (27.2.2018). Единственность жордановой формы (с точностью до перестановки клеток), ее нахождение. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона--Кэли.

Лекция 23 (6.3.2018). Евклидовы и эрмитовы пространства. Вычисление скалярного произведения в координатах, матрица Грама. Формулы замены координат для матрицы Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы.

Лекция 24 (13.3.2018). Метод ортогонализации Грама--Шмидта. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

Лекция 25 (20.3.2018). Сопряженные операторы в пространствах со скалярным произведением. Самосопряженные операторы. Собственные значения самосопряженных операторов, их матрицы в ортонормированных базисах. Нормальные операторы. Теорема о том, что нормальный оператор в конечномерном комплексном пространстве диагонализируем в ортонормированном базисе. Нормальность самосопряженного оператора.

Лекция 26 (4.4.2018). Унитарные и ортогональные операторы: эквивалентные определения. Унитарные и ортогональные матрицы, их свойства. Собственные значения унитарных операторов. Нормальность унитарных операторов. Ортогональные операторы на плоскости и в трехмерном пространстве.

Лекция 27 (11.4.2018). Теорема о каноническом виде ортогонального оператора в конечномерном пространстве. Положительные и неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратный корень из неотрицательного самосопряженного оператора. Полярное и сингулярное разложения квадратных матриц, теорема об их существовании (в случае невырожденных матриц).

Лекция 28 (18.4.2018). Линейный функционал (линейная форма) на линейном пространстве. Градиент как линейный функционал. Двойственное пространство. Базис, двойственный к данному. Векторы и ковекторы. Формула замены координат для линейных функционалов.

Билинейная форма: два определения. Симметричная билинейная форма. Матрица билинейной формы и характеризующие ее эквивалентные условия. Формула замены координат для матрицы билинейной формы.

Лекция 29 (25.4.2018). Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение действительной квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа и метод Якоби. Формулировка критерия Сильвестра.

Контрольная работа (16.5.2018).

Лекция 30 (25.4.2018). Связь положительно определенных квадратичных форм и евклидова скалярного произведения (повторение). Доказательство критерия Сильвестра. Закон инерции действительных квадратичных форм.

На следующих лекциях: аналитическая геометрия.

Формы контроля знаний студентов

• Контрольная работа
• Большие домашние задания
• Устная сдача задач из листков
• Активность и работа на семинарах
• Коллоквиум
• Экзамен

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,1 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,8 * O_{накопленная} + 0,2 * О_экз.

4-й модуль

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,1 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу во втором семестре, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,8 * O_{накопленная} + 0,2 * О_экз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Срок:

17 декабря 23:59

Условие

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно отправлять на почту своему ассистенту (и быть готовым ответить на возникающие у ассистента вопросы).

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду.

Лабораторная работа 2 (4-й модуль)

Срок:

1 июня 23:59

Условие

Лабораторную, как и в прошлый раз, необходимо выполнить в ноутбуке и отправить на почту своему ассистенту.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты сдачи задач из листков

171	172

Результаты сдачи домашних заданий

171	172

3-4 модули

Результаты сдачи задач из листков

171	172

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.