Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Расписание консультаций)
(Краткое содержание лекций)
Строка 68: Строка 68:
  
 
== Краткое содержание лекций ==
 
== Краткое содержание лекций ==
 +
 +
=== 1-2 модули ===
  
 
'''Лекция 1''' (7.09.2017). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.
 
'''Лекция 1''' (7.09.2017). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.
Строка 96: Строка 98:
  
 
'''Лекция 14''' (14.12.2017). Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений.
 
'''Лекция 14''' (14.12.2017). Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений.
 +
 +
=== 3-4 модули ===
 +
 +
'''Лекция 15''' (11.01.2018). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства.
  
 
== Листки с задачами ==
 
== Листки с задачами ==

Версия 19:35, 14 января 2018

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ173 БПМИ174 БПМИ175 БПМИ176 БПМИ177 БПМИ178
Лектор Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист Дмитрий Витальевич Трушин Роман Сергеевич Авдеев Полина Юрьевна Котенкова Сергей Александрович Гайфуллин Полина Юрьевна Котенкова Станислав Николаевич Федотов
Ассистент Мовсес Элбакян Денис Золотухин Тимур Петров Даниил Гонтарь Сергей Трошин Александр Чернявский

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Роман Сергеевич Авдеев 15:40–17:40, ауд. 623
2
Дмитрий Витальевич Трушин
3
Полина Юрьевна Котенкова
4
Сергей Александрович Гайфуллин 9:00–11:00, ауд. 607
5
Станислав Николаевич Федотов
6
Мовсес Элбакян
7
Денис Золотухин 15:10–16:30, ауд. 302
8
Тимур Петров 15:10–16:30, ауд. 511
9
Даниил Гонтарь 15:10–16:30, ауд. 435
10
Сергей Трошин 12:10–13:30, ауд. 304
11
Александр Чернявский 12:10–13:30, ауд. 302

Расписание консультаций преподавателей и ассистентов пилотного потока

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Устная сдача задач из листков
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,3 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,1 * Oсем,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (7.09.2017). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

Лекция 2 (21.09.2017). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

Лекция 3 (28.09.2017). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Лекция 4 (30.09.2017). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

Лекция 5 (5.10.2017). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Теорема о знаке произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

Лекция 6 (12.10.2017). Транспозиции, элементарные транспозиции. Знак транспозиции. Разложение подстановки в произведение элементарных транспозиций. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов).

Лекция 7 (19.10.2017). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке.

Лекция 8 (2.11.2017). Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Формулы Крамера.

Лекция 9 (9.11.2017). Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Лекция 10 (16.11.2017). Деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

Лекция 11 (23.11.2017). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Лекция 12 (30.11.2017). Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Единственность линейного выражения вектора через векторы базиса. Возможность выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

Лекция 13 (7.12.2017). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк. Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов.

Лекция 14 (14.12.2017). Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений.

3-4 модули

Лекция 15 (11.01.2018). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства.

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

5 ноября — последний день приёма задач

с 23 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать не более пяти задач

с 16 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать не более десяти задач

до 15 октября включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

14 декабря — последний день приёма задач

с 4 декабря по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более четырёх задач

с 22 ноября по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более девяти задач

до 21 ноября включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Срок:

4 декабря 23:30 для групп 174–178

6 декабря 23:30 для группы 173

Условие

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

173 174 175 176 177 178
2NTMDdn YARGWk7 OE7Arza 8XGXo1p 5dUpWjK FAwfqjI

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторной работе можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная 1].

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Контрольные работы

2-й модуль

Дата: 17 ноября

Точное время и распределение групп по аудиториям:

  • группы 173, 174: время 14:00–16:00, аудитория 402
  • группы 175–178: время 15:30–17:30, аудитория 622

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.

  • Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
  • Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8, 18.9, 18.11
  • Подстановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
  • Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
  • Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
  • Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316; К 14.1

Коллоквиумы

2-й модуль

Даты коллоквиума: 1 декабря: группы 173, 177, 178 2 декабря: группы 174, 175, 176

Формат проведения коллоквиума

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (5 баллов). Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего принимающий (как правило, другой) проверяет результат. По результатам разговора выставляется оценка за этап 2.

Этап 3 (3 балла). Дальнейший опрос принимающего по программе, в ходе которого могут даваться задачи на понимание теории. По результатам опроса выставляется оценка за этап 3.

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 19 декабря, 16:40

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Материалы для подготовки к экзамену:

I: список определений и формулировок

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):

  • Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
  • Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
  • Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
  • Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310, 1311; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11
  • Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
  • Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

173 174 175 176 177 178

Результаты сдачи задач из листков

173 174 175 176 177 178

Результаты 1-й контрольной работы

173 174 175 176 177 178

Сводные таблицы с оценками

173 174 175 176 177 178

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Литература

Учебники

  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.