Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2018/2019 (основной поток) — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(3-4 модули)
(Экзамен 4-й модуль)
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 143: Строка 143:
  
 
'''Лекция 33''' (30.05.2019). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.
 
'''Лекция 33''' (30.05.2019). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.
 +
 +
'''Лекция 34''' (6.06.2019). Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка). Сведение доказательства теоремы о жордановой нормальной форме к случаю нильпотентного оператора.
 +
 +
'''Лекция 35''' (13.06.2019). Нильпотентные линейные операторы. Циклическое подпространство нильпотентного оператора. Конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.
  
 
= Листки с задачами =
 
= Листки с задачами =
Строка 178: Строка 182:
 
[https://www.dropbox.com/s/j1djwl09kqx9x01/LA_18-19_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы
 
[https://www.dropbox.com/s/j1djwl09kqx9x01/LA_18-19_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы
  
Сроки сдачи листка 4 будут объявлены позднее
+
Сроки сдачи листка 4:
 +
 
 +
задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно
  
 
= Лабораторные работы =
 
= Лабораторные работы =
Строка 355: Строка 361:
 
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
 
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
 
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12
 
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12
 +
 +
Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.
 +
 +
= Экзамен 4-й модуль =
 +
Формат проведения: письменная работа
 +
 +
Дата-время: 19 июня, 10:30
 +
 +
Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".
 +
 +
Материалы для подготовки к экзамену:
 +
 +
I: [https://www.dropbox.com/s/002nszn9lgtqob3/LA_18-19_Stream2_Definitions_exam2.pdf?dl=0 '''список определений и формулировок''']
 +
 +
II: список задач для подготовки ко 2-й контрольной
 +
 +
III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова):
 +
*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21
 +
*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15
 +
*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16
 +
*Самосопряжённые линейные операторы, приведение квадратичной формы к главным осям: К 45.4, 45.19, П 1243–1246, 1248–1262, 1585, 1586
 +
*Ортогональные линейные операторы: К 46.6, П 1571–1577
 +
*Сингулярное разложение матриц и теорема о низкоранговом приближении ([https://www.dropbox.com/s/wkjqmpauc3ubwdk/SVD_examples.pdf?dl=0 '''примеры'''])
 +
*Нахождение прямоугольной декартовой системы координат, в которой уравнение данной кривой или поверхности 2-го порядка принимает канонический вид, и определение типа данной кривой или поверхности (КК 35.24, 35.27, 38.10–38.12)
 +
*Нахождение жордановой формы линейного оператора и соответствующего жорданова базиса (К 41.1, 41.10, П 1530–1536)
  
 
Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.
 
Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

Текущая версия на 00:50, 15 июня 2019

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ183 БПМИ185 БПМИ186 БПМИ187 БПМИ188 БПМИ189
Лектор Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист Дмитрий Витальевич Трушин Роман Сергеевич Авдеев Сергей Александрович Гайфуллин Станислав Николаевич Федотов Антон Андреевич Шафаревич Сергей Александрович Гайфуллин
Ассистент Эльмир Марданов Тимур Петров Лев Хорошанский Илья Анищенко Анна Соколова Наталия Бондаренко

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Роман Сергеевич Авдеев 15:40–17:40, ауд. 623 15:40–16:30, 18:10–19:00, ауд. 623
2
Дмитрий Витальевич Трушин 15:10–16:30, ауд.  503
3
Сергей Александрович Гайфуллин 18:10–19:30, ауд. 623
4
Станислав Николаевич Федотов
5
Антон Андреевич Шафаревич 18:10–19:30, ауд. 618
6
Эльмир Марданов 15:10–16:40, ауд. уточняется
7
Тимур Петров 10:30–11:50, ауд. 618
8
Лев Хорошанский 12:10–13:30, ауд. 618
9
Илья Анищенко 15:10–16:30, ауд. уточняется
10
Анна Соколова 9:00–10:20, ауд. 306
11
Наталия Бондаренко 16:40–18:00, ауд. 306

Формы контроля знаний студентов

  • Коллоквиум
  • Контрольная работа
  • Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
  • Активность и работа на семинарах
  • Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

  • Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,33 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,29 * Oд/з + 0,13 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (6.09.2018). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

Лекция 2 (8.09.2018). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений.

Лекция 3 (20.09.2018). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

Лекция 4 (27.09.2018). Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Перестановки и подстановки.

Лекция 5 (4.10.2018). Инверсии в подстановке. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Теорема о знаке произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3.

Лекция 6 (11.10.2018). Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители.

Лекция 7 (13.10.2018). Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы.

Лекция 8 (13.10.2018). Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел.

Лекция 9 (8.11.2018). Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства).

Лекция 10 (15.11.2018). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n.

Лекция 11 (22.11.2018). Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и утверждение о том, что она является подпространством. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

Лекция 12 (29.11.2018). Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Единственность линейного выражения вектора через векторы базиса. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

Лекция 13 (6.12.2018). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк. Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем.

Лекция 14 (13.12.2018). Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

3-4 модули

Лекция 15 (10.01.2019). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Формула преобразования координат вектора при замене базиса.

Лекция 16 (17.01.2019). Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

Лекция 17 (24.01.2019). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения.

Лекция 18 (31.01.2019). Утверждение о том, что ядро и образ линейного отображения являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае.

Лекция 19 (7.02.2019). Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Билинейные формы (функции) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры.

Лекция 20 (14.02.2019). Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Лекция 21 (21.02.2019). Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы.

Лекция 22 (28.02.2019). Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Метод ортогонализации Грама–Шмидта.

Лекция 23 (7.03.2019). Дополнение ортогональной (ортонормированной) системы векторов до ортогонального (ортонормированного) базиса. Координаты вектора в ортогональном и ортонормированном базисах. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n в терминах его произвольного базиса. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства.

Лекция 24 (14.03.2019). Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

Лекция 25 (21.03.2019). Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение: определение, связь с ориентированным объёмом, выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Выражение векторного произведения в координатах. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия.

Лекция 26 (4.04.2019). Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3.

Лекция 27 (11.04.2019). Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.

Лекция 28 (15.04.2019). Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства.

Лекция 29 (18.04.2019). Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы.

Лекция 30 (25.04.2019). Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий. Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах.

Лекция 31 (16.05.2019). Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения.

Лекция 32 (23.05.2019). Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема о низкоранговом приближении.

Лекция 33 (30.05.2019). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

Лекция 34 (6.06.2019). Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка). Сведение доказательства теоремы о жордановой нормальной форме к случаю нильпотентного оператора.

Лекция 35 (13.06.2019). Нильпотентные линейные операторы. Циклическое подпространство нильпотентного оператора. Конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

  • каждый пункт в листке считается отдельной задачей
  • сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
  • результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 20 октября включительно

в период с 15 по 20 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 14 марта включительно

в период с 8 по 14 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 4. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

183 185 186 187 188 189
CBZfWmT VH3dlCy bBZRDfw kG9oqkI z0gzpIw q3mJuTw

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

3 декабря 23:30 для групп 185–189

5 декабря 23:30 для группы 183

Лабораторная работа 2 (3-й модуль)

Файл с условием, а также остальные файлы лежат тут.

Срок:

4 апреля 23:30 для всех групп

Лабораторная работа 3 (4-й модуль)

Файл с условием, а также картинка к файлу лежат тут.

Срок:

6 июня 23:30 для всех групп

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 16 ноября, 16:40–18:40

Распределение групп по аудиториям:

  • группы 183, 186: аудитория 317
  • группы 185, 187, 188, 189: аудитория 622

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.

  • Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
  • Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
  • Подстановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
  • Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
  • Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
  • Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316

4-й модуль

Дата-время-место: 23 апреля, 15:10, аудитории 509 и 317

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

  • Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16; задача 3 из ИДЗ-3
  • Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задача 2 из ИДЗ-3
  • Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 3 из ИДЗ-4
  • Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16, задача 4 из ИДЗ-4
  • Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 1(б) из ИДЗ-5
  • Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10
  • Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16
  • Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)
  • Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра
  • Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)
  • Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)
  • Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36
  • Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7
  • Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61
  • Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32
  • Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19
  • Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Коллоквиумы

Формат проведения коллоквиумов

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (4 балла). Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 45 минут на подготовку, после чего принимающий (как правило, другой) проверяет результат. По результатам разговора выставляется оценка за этап 2.

Этап 3 (4 балла). Дальнейший опрос принимающего по программе, в ходе которого могут даваться задачи на понимание теории. По результатам опроса выставляется оценка за этап 3.

2-й модуль

Даты коллоквиума: 7,8 декабря

Распределение групп по дням:

7 декабря — 187-2, 188, 189

8 декабря — 183, 185, 186, 187-1

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

4-й модуль

Даты коллоквиума: 17,18 мая

Распределение групп по дням:

17 мая — 188, 189, 185

18 мая — 183, 187, 186

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 26 декабря, 10:30

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с экзамена

Материалы для подготовки к экзамену:

I: список определений и формулировок

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):

  • Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
  • Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
  • Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
  • Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
  • Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
  • Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

Экзамен 4-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 19 июня, 10:30

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Материалы для подготовки к экзамену:

I: список определений и формулировок

II: список задач для подготовки ко 2-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова):

  • Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21
  • Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15
  • Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16
  • Самосопряжённые линейные операторы, приведение квадратичной формы к главным осям: К 45.4, 45.19, П 1243–1246, 1248–1262, 1585, 1586
  • Ортогональные линейные операторы: К 46.6, П 1571–1577
  • Сингулярное разложение матриц и теорема о низкоранговом приближении (примеры)
  • Нахождение прямоугольной декартовой системы координат, в которой уравнение данной кривой или поверхности 2-го порядка принимает канонический вид, и определение типа данной кривой или поверхности (КК 35.24, 35.27, 38.10–38.12)
  • Нахождение жордановой формы линейного оператора и соответствующего жорданова базиса (К 41.1, 41.10, П 1530–1536)

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

183 185 186 187 188 189

Результаты сдачи задач из листков

183 185 186 187 188 189

Результаты 1-й контрольной работы

183 185 186 187 188 189

Сводные таблицы с оценками

183 185 186 187 188 189

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

183 185 186 187 188 189

Результаты сдачи задач из листков

183 185 186 187 188 189

Результаты 2-й контрольной работы

183 185 186 187 188 189

Сводные таблицы с оценками

183 185 186 187 188 189

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Литература

Учебники

  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
  • А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

  • И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
  • Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.