Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток) — различия между версиями

Версия 02:46, 22 января 2018

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в канале.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.

Лекция 2 (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.

Лекция 3 (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.

Лекция 4 (5.10.2017). Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений. Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.

Лекция 5 (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.

Лекция 6 (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.

Лекция 7 (31.10.2017). Обратная матрица. Существование и единственность обратной матрицы у невырожденной матрицы. Формула обратной матрицы. Лемма о фальшивом разложении.

Определение линейного пространства.

Лекция 8 (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства.

Лекция 9 (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы (без доказательства).

Лекция 10 (21.11.2017). Ранг матрицы по столбцам и по строкам, их свойства. Теорема о ранге матрицы.

Лекция 11 (28.11.2017). Сумма Минковского двух подмножеств линейного пространства. Сумма и пересечения двух подпространств линейного пространства как подпространства, связь их размерностей. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общая формула решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Лекция 12 (5.12.2017). Поле. Линейное пространство над полем. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа, операции над комплексными числами и их геометрический смысл, извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

Лекция 13 (15.12.2017). Координаты вектора в конечномерном линейном пространстве, изменение координат при замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что два конечномерных пространства над одним полем изоморфны в том и только том случае, когда их размерности равны.

Лекция 14 (19.12.2017). Произведение треугольных матриц. LU разложение квадратной матрицы (при условии, что все ее угловые миноры, кроме максимального, ненулевые). Матрицы полного строчного и столбцового ранга. Разложение полного ранга (скелетное разложение) произвольной матрицы.

Лекция 14 (9.1.2018). Линейные отображения. Примеры: поворот, проекции; изоморфизм, линейный функционал, интегрирование и дифференцирование функций от действительных чисел, умножение данной матрицы на произвольный вектор. Матрица линейного отображения. Матрица замены координат как матрица тождественного оператора. Матрица композиции линейных отображений. Замена координат для матрицы линейного отображения. Невырожденность матрицы изоморфизма.

Формы контроля знаний студентов

• Контрольная работа
• Большие домашние задания
• Устная сдача задач из листков
• Активность и работа на семинарах
• Коллоквиум
• Экзамен

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,1 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,8 * O_{накопленная} + 0,2 * О_экз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Срок:

17 декабря 23:59

Условие

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно отправлять на почту своему ассистенту (и быть готовым ответить на возникающие у ассистента вопросы).

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты сдачи задач из листков

Результаты сдачи домашних заданий

3-4 модули

Результаты сдачи задач из листков

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.