Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток) — различия между версиями

Версия 23:42, 19 октября 2017

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в канале.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.

Лекция 2 (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.

Лекция 3 (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.

Лекция 4 (5.10.2017). Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений. Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.

Лекция 5 (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.

Лекция 6 (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.

Формы контроля знаний студентов

• Контрольная работа
• Большие домашние задания
• Устная сдача задач из листков
• Активность и работа на семинарах
• Коллоквиум
• Экзамен

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,1 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков, О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,8 * O_{накопленная} + 0,2 * О_экз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.