Дополнительные главы дискретной математики 2017/18

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск

Общая информация

Правила выставления оценок

Дедлайны

Домашнее задание 1 дедлайн: 16 марта, 23:59 AoE
Домашнее задание 2 дедлайн: 11 мая, 13:40
Домашнее задание 3 дедлайн: 5 июня, 15:10
Задание сдается письменно.
Из каждого дз достаточно решить две задачи.
Экзамен: 15 июня, 13:40, ауд. 300

Материалы курса

Дата Summary Домашнее задание
16.01.18 Сумма игр, функция Шпрага-Гранди, функция Шпрага-Гранди суммы игр. Листок 1
23.01.18 Разрешающие деревья, сертификатная сложность, примеры. Соотношения между сертификатной сложностью и сложностью в модели разрешающих деревьев; пример квадратичного разрыва. Чувствительность и блочная чувствительность. Обзор по теме. Листок 2
30.01.18 Чувствительность и блочная чувствительность: квадратичный разрыв. Сертификатная сложность не больше квадрата блочной чувствительности. Степень булевой функции. Степень не больше сложности в модели деревьев разрешения. Пример: степень квадратично больше сертификатной сложности. Пример: чувствительность больше степени.

Листок 3
Updated: 05.02.18

06.02.18 Схемная сложность функции "четность" от n переменных не меньше 3n-3. Глубина булевой схемы. Булева формула. Эквивалентность схем и формул с точки зрения глубины. Теорема о балансировке булевой формулы. Эквивалентность глубины булевой схемы и размера булевой формулы.

Листок 4

13.02.18 Классы функций AC^i, NC^i, иерархия. PARITY не лежит в NC^0. Сложение чисел в AC^0. PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: схемы приближаемы многочленами. Листка на этой неделе не было
20.02.18 PARITY не лежит в AC^0, полиномиальный метод: многочлены не приближают PARITY. PARITY вычисляется AC^0 схемой глубины d и размера $2^{n^{O(1/d)}}$. Теорема Роджерса о главных универсальных функциях, начало доказательства.

Листок 5

27.02.18 Теорема о существовании перечислимых неотделимых множеств. Перечислимое бесконечное множество номеров вычислимой функции. Теорема Роджерса об изоморфизме главных универсальных функциях. Конструкция Поста перечислимого неразрешимого множества.

Листок 6

06.03.18 Теорема об иерархии по времени. Квадратичный разрыв между временем вычисления на одноленточных и многоленточных машинах.

Листок 7

13.03.18 Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, однородный случай.

Листка на этой неделе нет

20.03.18 Разбор задач домашнего задания.
03.04.18 Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, неоднородный случай. Бином Ньютона, комбинаторные следствия из него. Производящие функции, начало. Число разложений числа в сумму различных слагаемых равно числу разложений числа в сумму нечетных слагаемых. Разбор задач домашнего задания. Листок 8
10.04.18 Производящие функции, операции над ними: сложение, умножение на число, умножение, взятие обратных, подстановка, сдвиг вправо, производная. Переход от производящей функции последовательности к производящей функции ее частичных сумм. Нахождение коэффициентов производящих функций. Пример: формула для суммы квадратов. Нахождение коэффициентов в общем виде. Решение рекуррентных соотношений с помощью производящих функций. Листок 9
17.04.18 Теорема Холла, в терминах двудольных графов и в терминах множеств. Следствие для регулярных семейств множеств. Разложение дважды стохастических матриц. Расширение k-элементных подмножеств до различных (k+1)-элементных подмножеств. Паросочетания и вершинные покрытия в двудольных графах. Максимальные паросочетания в двудольных графах. Листок 10
Updated: 10.05.18
11.05.18 Цепи и антицепи. Разбиения на цепи и антицепи, связь с максимальными размерами цепей и антицепей. Разбиение на симметричные цепи в булевом кубе. Теорема Шпернера, LYM неравенство. Слово со всеми подмножествами в качестве подслов. Листок 11
15.05.18 Миноры и топологические миноры графов. k-связность графов. Плоские и планарные графы. Свойство плоских лесов. Свойство плоских циклов. Свойство плоских 2-связных графов. Теорема Эйлера. Непланарность K_5 и K_{3,3}. Критерий планарности графов. Листок 12
22.05.18 Коды, исправляющие ошибки. Граница Хэмминга. Граница Гилберта. Оценки объема шара. Линейные коды. Граница Варшамова-Гилберта.

Листок 13
Updated: 29.05.18

29.05.18 Код Хэмминга. Граница Синглтона. Код Рида—Соломона, его декодирование. Оценка Плоткина. Усиление оценки Синглтона над бинарным алфавитом.
05.06.18 Неравенство Фишера. Разбиение полного графа на полные двудольные.

Материалы

Игры: Черновик учебника по дискретной математике
Разрешающие деревья: H. Buhrman and R. de Wolf. Complexity Measures and Decision Tree Complexity: A Survey
Булевы схемы: Stasys Jukna, Boolean Function Complexity: Advances and Frontiers
Вычислимость: Н. К. Верещагин, А. Шень. Вычислимые функции
Рекурренты и производящие функции: MIT lecture notes
Теорема Холла, цепи и антицепи, алгебраические методы в комбинаторике: Stasys Jukna, Extremal Combinatorics
Графы: Р. Дистель, Теория графов
Коды: А. Ромащенко, А. Румянцев, А. Шень, Заметки по теории кодирования

Результаты

Таблица результатов