Дифференциальные уравнения (ПМИ) 2022/23

Дифференциальные уравнения 2021

• Содержание

'*

1. 'О курсе
2. * Презентация курса
3. * Преподаватели и учебные ассистенты
4. Темы лекций
5. * Порядок формирования итоговой оценки
6. * Контрольная работа
7. * Экзамен
8. * Записи семинаров
9. * Литература

• 1. О курсе
• Разработчики: Букин Кирилл Александрович - лектор. Лекции по понедельникам с 9:30 до 10:50 Ссылка: https://zoom.us/j/91592608200
• Число кредитов: 5
• Контактная работа (час.): 80 (лекции: 40; семинары: 40)
• Самостоятельная работа (час.): 110
• Образовательная программа: Прикладная математика и информатика (2 курс)
• Язык преподавания: Русский
• Формат изучения: без онлайн-курса

Контрольная работа (80 минут)

• Формат экзамена: Прикладная математика и информатика: синхронный прокторинг ВШЭ (120 минут)
• "Прокторинг: Типовые технические требования"

=

• 2. ПРЕЗЕНТАЦИЯ КУРСА
• ЦЕЛЬ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
• 1. Обучить студентов методам решения и исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений, составляющих основу математических моделей различных теоретических и практических инженерно-экономических задач
• 2. Выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умения перевести инженерно-экономическую задачу на математический язык
• 3. Повысить общий уровень математической культуры
• 4. Научить самостоятельно изучать учебную и научную литературу по дифференциальным уравнениям
• ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ
• – Владеть навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
• – Владеть навыками численного решения дифференциальных уравнений
• – Знать доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
• – Знать определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
• – Знать примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
• – Уметь исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
• – Уметь решать основные типы дифференциальных уравнений
• – Уметь строить фазовые портреты дифференциальных уравнений

'3. Преподаватели' Букин Кирилл Александрович - лектор, ведущие семинары:Оноприенко Анастасия Александровна, Запрягаев Александр Александрович

4. Темы лекций

1. Введение в теорию дифференциальных уравнений
2. Понятие дифференциального уравнения. Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям
3. Простейшие примеры дифференциальных уравнений первого порядка
4. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, сводящиеся к однородным. Линейное уравнение 1-ого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Методы понижения порядка для уравнений порядка выше первого.
5. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения
6. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка
7. Общие свойства таких уравнений. Линейно зависимые и независимые функции. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного однородного дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Структура частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
8. Формула Остроградского-Лиувилля. Граничная задача. Теорема Штурма.
9. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
10. Определение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее, частное и особое решения. Сведение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-ого порядка.
11. Нормальные автономные системы ДУ и устойчивость по Ляпунову
12. Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем. Классификация особых точек. Основные теоремы об устойчивости. Метод функций Ляпунова. Первые интегралы автономных систем.
13. Примеры разностных уравнений.
14. Разностные уравнения в экономике (паутинообразная модель). Линейные разностные уравнения первого порядка.
15. Методы решений линейных разностных уравнений n-го порядка и линейных систем разностных уравнений.
16. Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Методы решений разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Разностная задача Коши. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия автономной системы разностных уравнений.
17. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка
18. Линейные однородные уравнения. Задача Коши. Квазилинейные уравнения.
19. Классификация линейных дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка. Их применение для решения физических задач
20. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа на примере уравнения теплопроводности, формула Пуассона. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа на примере волнового уравнения, формула Даламбера. Решение краевой задачи на примере уравнения Лапласа.

5. Порядок формирования итоговой оценки

Полужирное начертание