Дифференциальные уравнения (ПМИ) 2022/23

Дифференциальные уравнения 2021

== Содержание ==

'*

1. О курсе
2. * Презентация курса
3. * Преподаватели и учебные ассистенты
4. Темы лекций
5. * Порядок формирования итоговой оценки
6. * Контрольная работа
7. * Экзамен
8. * Записи семинаров
9. * Литература

• '

1. О курсе

• Разработчики: Букин Кирилл Александрович - лектор. Лекции по понедельникам с 9:30 до 10:50 Ссылка: https://zoom.us/j/91592608200
• Число кредитов: 5
• Контактная работа (час.): 80 (лекции: 40; семинары: 40)
• Самостоятельная работа (час.): 110
• Образовательная программа: Прикладная математика и информатика (2 курс)
• Язык преподавания: Русский
• Формат изучения: без онлайн-курса

Контрольная работа (80 минут)

• Формат экзамена: Прикладная математика и информатика: синхронный прокторинг ВШЭ (120 минут)
• "Прокторинг: Типовые технические требования"

=

• 2. ПРЕЗЕНТАЦИЯ КУРСА
• ЦЕЛЬ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
• 1. Обучить студентов методам решения и исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений, составляющих основу математических моделей различных теоретических и практических инженерно-экономических задач
• 2. Выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умения перевести инженерно-экономическую задачу на математический язык
• 3. Повысить общий уровень математической культуры
• 4. Научить самостоятельно изучать учебную и научную литературу по дифференциальным уравнениям
• ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ
• – Владеть навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
• – Владеть навыками численного решения дифференциальных уравнений
• – Знать доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
• – Знать определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
• – Знать примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
• – Уметь исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
• – Уметь решать основные типы дифференциальных уравнений
• – Уметь строить фазовые портреты дифференциальных уравнений

'

3. Преподаватели

' Букин Кирилл Александрович - лектор, ведущие семинары:Оноприенко Анастасия Александровна, Запрягаев Александр Александрович, Галкин Артем Юрьевич

4. Темы лекций

1. Введение в теорию дифференциальных уравнений
2. Понятие дифференциального уравнения. Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям
3. Простейшие примеры дифференциальных уравнений первого порядка
4. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, сводящиеся к однородным. Линейное уравнение 1-ого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Методы понижения порядка для уравнений порядка выше первого.
5. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения
6. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка
7. Общие свойства таких уравнений. Линейно зависимые и независимые функции. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного однородного дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Структура частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
8. Формула Остроградского-Лиувилля. Граничная задача. Теорема Штурма.
9. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
10. Определение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее, частное и особое решения. Сведение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-ого порядка.
11. Нормальные автономные системы ДУ и устойчивость по Ляпунову
12. Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем. Классификация особых точек. Основные теоремы об устойчивости. Метод функций Ляпунова. Первые интегралы автономных систем.
13. Примеры разностных уравнений.
14. Разностные уравнения в экономике (паутинообразная модель). Линейные разностные уравнения первого порядка.
15. Методы решений линейных разностных уравнений n-го порядка и линейных систем разностных уравнений.
16. Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Методы решений разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Разностная задача Коши. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия автономной системы разностных уравнений.
17. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка
18. Линейные однородные уравнения. Задача Коши. Квазилинейные уравнения.
19. Классификация линейных дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка. Их применение для решения физических задач
20. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа на примере уравнения теплопроводности, формула Пуассона. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа на примере волнового уравнения, формула Даламбера. Решение краевой задачи на примере уравнения Лапласа.

5. Порядок формирования итоговой оценки

• Домашние задания каждые 2 недели
• Критерии оценивания:
• Для каждого пункта в домашнем задании указано, сколько баллов получает студент при его полностью корректном выполнении. Итоговая оценка за работу вычисляется как сумма набранных баллов или по правилам, прописанным в тексте работы, при их наличии. За задания могут выставляться частичные баллы в соответствие с долей выполненного задания, если критерии сформулированы в тексте задания.
• Возможности пересдачи нет
• Нет
• Примеры заданий

–

6. Контрольная в конце третьего модуля (80 минут)

Критерии оценивания: Для каждого вопроса указано, сколько баллов получает студент при полностью корректном ответе. Итоговая оценка за работу вычисляется как сумма набранных баллов. За ответ может выставляться частичное количество баллов в соответствии с долей правильно изложенного материала. Возможность написать позже при уважительном пропуске есть

– 7 Экзамен в конце четвертого модуля (120 минут)

Для каждого вопроса указано, сколько баллов получает студент при полностью корректном ответе. Итоговая оценка за работу вычисляется как сумма набранных баллов. За ответ может выставляться частичное количество баллов в соответствии с долей правильно изложенного материала. Возможность пересдачи Пересдача запланирована на сентябрь-октябрь будущего учебного года Комментарий Экзамен письменный. Экзамен проходит с синхронным или асинхронным прокторингом. Студенты получают задание, решают на бумаге, в конце загружают фотографии/сканы решений. Экзамен длится 2 астрономических часа. Во время экзамена разрешено только смотреть в условия задач и писать на листах бумаги, которые были чистыми до начала экзамена. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее десяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 10 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено сдать экзамен в период пересдач (пропуск по уважительной причине).

8. Записи семинаров будут постепенно выкладываться

9. ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ'

% Промежуточная аттестация (4 модуль)

• 0.400 Экзамен
• 0.30 Домашние задания
• 0.3 Контрольная работа
• Правила округления:
• В соответствии с таблицей перевода (перевод происходит в самом конце учебного года)
• 100-point scale 10-point scale
• 0-19,99 1
• 20-29,99 2
• 30-39,99 3
• 40-46,99 4
• 47-53,99 5
• 54-61,99 6
• 62-69,99 7
• 70-77,99 8
• 78-85,99 9
• 86-100 10

9. Рекомендуемая основная литература

     Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Москва: Лаборатория базовых знаний, 2001.

Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392

Рекомендуемая дополнительная литература Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер [и др.] ; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2017. - 479 с. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») - ISBN 978-5-238-00991-9. - Текст : электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/1028709