Введение в дифференциальную геометрию 22/23 — различия между версиями
(→Краткое содержание лекций) |
(→Краткое содержание лекций) |
||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
'''Лекция 2''' (17.02.2023). Топологические многообразия, примеры. Структура многообразия на проективном пространстве. Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат). | '''Лекция 2''' (17.02.2023). Топологические многообразия, примеры. Структура многообразия на проективном пространстве. Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат). | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 3''' (24.02.2023). Отображения постоянного ранга, погружения и вложения. Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках). | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 4''' (03.03.2023). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае). Объяснение необходимости тензорных полей. Определение тензорного поля и его примеры. Гладкость тензорнонго поля. Поточечные операции над тензорными полями: структура векторного простанства, тензорное умножение, свертка. Примеры операций. | ||
= Ссылки = | = Ссылки = | ||
Версия 13:30, 10 марта 2023
Преподаватели
Дима Трушин
Расписание Занятий
пятница с 14:40 до 17:40
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (10.02.2023). Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Классификация открытых на прямой. Тополоические пространства из 2 элементов. Хаусдорфовость. База топологии, база окрестностей точки. Минимальная топология порожденная семейством. Метрические пространства и порожденная метрикой топология, база из шаров. Непрерывные отображения (локальная непрерывность и глобальная непрерывность). Свойства линейной связности. Свойство связности. Связность отрезка. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств. Подпространство и фактор пространство топологического пространства. Дизъюнктное объединение и произведение топологических пространств.
Лекция 2 (17.02.2023). Топологические многообразия, примеры. Структура многообразия на проективном пространстве. Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат).
Лекция 3 (24.02.2023). Отображения постоянного ранга, погружения и вложения. Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках).
Лекция 4 (03.03.2023). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае). Объяснение необходимости тензорных полей. Определение тензорного поля и его примеры. Гладкость тензорнонго поля. Поточечные операции над тензорными полями: структура векторного простанства, тензорное умножение, свертка. Примеры операций.
Ссылки
Группа в Telegram
Ссылка на материалы и ДЗ. Дедлайн по ДЗ -- начало следующей лекции.
