Текущая версия на 22:56, 3 апреля 2023

Преподаватели

Дима Трушин

Расписание Занятий

пятница с 14:40 до 17:40

Zoom

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (10.02.2023). Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Классификация открытых на прямой. Тополоические пространства из 2 элементов. Хаусдорфовость. База топологии, база окрестностей точки. Минимальная топология порожденная семейством. Метрические пространства и порожденная метрикой топология, база из шаров. Непрерывные отображения (локальная непрерывность и глобальная непрерывность). Свойства линейной связности. Свойство связности. Связность отрезка. Гомеоморфизм. Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств. Подпространство и фактор пространство топологического пространства. Дизъюнктное объединение и произведение топологических пространств.

Лекция 2 (17.02.2023). Топологические многообразия, примеры. Структура многообразия на проективном пространстве. Структура многообразия на матрицах фиксированного ранга. Примеры нехаусдорфовой склейки. Пример отсутствия счетной базы. Гладкое многообразие, понятие карты и атласа. Разные степени гладкости. Стандартный атлас в R^n. Пример нестандартной гладкой структуры в R. Примеры гладких структур на S^n, матрицах, невырожденных матрицах, матрицах фиксированного ранга. Гладкие отображения, независимость гладкости в точке от выбора координатных окрестностей. Понятие диффеоморфизма (изоморфизм для гладких многообразий). Ранг гладкого отображения в точке и его корректность (независимость от выбора координат).

Лекция 3 (24.02.2023). Отображения постоянного ранга, погружения и вложения. Касательное пространство, три конструкции: в координатах, через скорости кривых и через дифференцирования в точке (последнее в бесконечно гладком и аналитическом случае). Дифференциал отображения (на всех трех языках).

Лекция 4 (03.03.2023). Дифференциал функции, базисы в косательном и кокосательном пространстве индуцированные системой координат. Гладкие векторные поля и их связь с дифференцированиями функций (в бесконечно гладком и аналитическом случае). Объяснение необходимости тензорных полей. Определение тензорного поля и его примеры. Гладкость тензорнонго поля. Поточечные операции над тензорными полями: структура векторного простанства, тензорное умножение, свертка. Примеры операций.

Лекция 5 (10.03.2023). Связаность (ковариантная производная). Аксиоматическое определение связности (в смысле дифференциала). Описание связности в карте, символы Кристофеля. Условие согласованности символов Кристофеля между картами. Аналоги частных производных и производная по направлению. Вычисление символов Кристофеля для полярной системы координат (при условии, что в исходной системе символы Кристофеля нулевые).

Лекция 6 (17.03.2023). Римановы многообразия и их отображения. Примеры. Понятие длины пути. Поднятие и опускание индексов. Свертка любых индексов. Задание метрики: 1) Вложение в R^n, 2) Склейка метрик через разбиение единицы. Тензор курчени, симметрическая связность, Риманова связность. Явные формулы для Римановой связности. Евклидовы координаты (два понятия). Параллельный перенос.

Лекция 7 (24.03.2023). Понятие геодезических. Интегрирование: идея неориентированного и ориентированного интегралов. Неориентированный случай: понятие плотности и ее интегрирование. Пример плотности и понятие неориентированного объема. Ориентированный случай: понятие дифференциальной формы. Связь форм с тензорными полями. Прмеры. Операция ограничения формы. Операция дифференцирования формы (связь с ковариантным дифференцированием). Многообразия с границей. Ориентация многообразия и индуцированная ориентация на границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированному многообразию. Теорема Стокса.

Ссылки

Группа в Telegram

Ссылка на материалы и ДЗ. Дедлайн по ДЗ -- начало следующей лекции.