Алгоритмы и структуры данных. Подгруппа 105-1 — различия между версиями

Версия 16:33, 20 января 2015

О курсе

План лекций и список рекомендуемой литературы.

Оценивание домашних работ

• В каждом домашнем задании для получения максимального балла требуется решить или все задачи без звёздочек, или все задачи со звёздочками.
• Решения после установленного дедлайна не принимаются. Дедлайн указан в заголовке каждого задания.
• Везде, где требуется написать алгоритм, можно использовать любой язык программирования или псевдокод.
• Там, где требуется построить алгоритм с заданной асимптотикой, приведите обоснование, что полученный алгоритм удовлетворяет этому условию.
• Эти правила не действуют, если в задании явно оговорено иное.

(12.01) Мотивация к изучению алгоритмов. Подсчёт числа операций

План занятия

1. Числа Фибоначчи. Определение. Примитивный рекурсивный алгоритм вычисления i-ого числа. Оценка числа операций. Анализ причин неэффективности. Алгоритм с запоминанием вычисленных ранее значений. Оценка числа операций. Сравнение с предыдущим. (подробнее: глава 0, страницы 8-10 из книги <<Алгоритмы>>, см. список рекомендованной литературы)
2. Задача о ханойской башне. Постановка задачи. Рекурсивный алгоритм. Рекуррентная формула для числа перемещений. Замкнутая формула для числа перемещений (+ доказательство). Доказательство того, что эту задачу нельзя решить используя меньшее число перемещений дисков. (Разбор задачи о ханойской башне, автор Сергей Объедков)
3. Сортировка пузырьком. Алгоритм. Подсчёт количество операций сравнения и обмена (swap). Анализ наилучшего и наихудшего случаев (Википедия)

Домашнее задание (12.01 - 26.01)

Во всех задачах, если не оговорено иного, предполагаем, что работаем с целыми неотрицательными числами. Для первых 7 задач необходимо

• описать что можно считать наилучшим и наихудшим случаями,
• для каждого из двух случаев подсчитать отдельно количество операций сравнения и swap (если есть).

Задачи

1. Даны три числа, требуется вернуть наименьшее.
2. Даны три числа, требуется отсортировать их.
3. Дана последовательность A из n элементов и число x, требуется найти элемент равный x. Примечание: если таких значений i несколько, вернуть любое; если такого элемента нет, функция должна сообщить об этом.
4. * Дана упорядоченная последовательность A из n элементов и число x, требуется найти такое i, что A[i] равно x. Алгоритм должен быть эффективней, чем в предыдущем пункте и использовать то, что последовательность упорядочена.
5. Дана последовательность из 100 000 чисел от 0 до 100. Напишите эффективный алгоритм сортировки, который бы учитывал специфику входных данных.
6. * Дано 32 битное неотрицательное число. Требуется номер первого ненулевого бит. Разрешается использовать операцию обращения к i-тому биту. В дополнение к заданиям в преамбуле укажите математическое ожидание количества операций сравнения, считая, что числа распределены равномерно.
7. * Даны 32 битные неотрицательные числа m и n. Требуется вывести True, если m < n, иначе False. Разрешается использовать операцию обращения к i-тому биту. В дополнение к заданиям в преамбуле укажите математическое ожидание количества операций сравнения битов, считая, что числа распределены равномерно.
8. Напишите рекурсивную функцию, вычисляющую n-ое число Фибоначчи (как на занятии). Подсчитайте количество рекурсивных вызовов.
9. * Напишите функцию, вычисляющую n-ое число Фибоначчи, у которой число операций — полином от n, и которая использует количество памяти, независящее от n.

(15.01) O-символика и стратегия "разделяй и властвуй"

План занятия

1. Сортировка слиянием. Алгоритм, рекуррентное соотношение для времени сортировки, сложность. Подробнее: §2.3 Сортировка слиянием.
2. О-символика. §0.3 О-символика.
3. Задача о слиянии m упорядоченных массивов по n элементов. Три алгоритма решения: последовательное слияние, слияние "деревом" (обе функции используют Merge из MergeSort), аналог Merge для m массивов. Анализ сложности каждого из них.

Домашнее задание (15.01-29.01)

1. Дана функция F, определённая ниже. Сколько строк она напечатает?
   1. Запишите рекуррентное соотношение для числа строк.
   2. Решите уравнение, полученное в предыдущем пункте, то есть, выведите замкнутую (нерекуррентную формулу). Для простоты можно считать, что n является степенью двойки.
2. В массиве A размера n записана возрастающая последовательность целых чисел. Постройте алгоритм типа "разделяй и властвуй", который проверяет, существует ли такой индекс i, что A[i] = i
   1. за время O(n),
   2. * за время O(log n).
   3. Какие случаи для вашего алгоритма являются наихудшими и наилучшими? Какого время работы в лучшем и худшем случаях?
3. Дан бесконечный массив A, первые n элементов которого содержат возрастающую последовательность положительных чисел, а дальше стоят -1. Значение n не дано. Постройте алгоритм, который получает на вход целое число x и находит это x в массиве --- или говорит, что там его нет,
   1. за время O(n),
   2. за время O(log n).
4. Рассмотрим алгоритм вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух положительных чисел, основанный на методе "разделяй и властвуй".
   1. (задание не оценивается) Прочитайте параграф 1.2.3 Алгоритм Евклида.
   2. * Докажите, что определение НОД-а, приведённое ниже, корректно.
   3. Постройте алгоритм, основанный на этом определении.
   4. Какой алгоритм будет быстрее для n-битовых чисел a и b при больших значениях n --- ваш или алгоритм Евклида?
5. * Покажите как за время O(n log n) удалить из массива размера n все дубликаты, то есть оставить каждый элемент в одном экземпляре.
6. * Даны два упорядоченных массива размера m и n. Постройте алгоритм, находящий k-й по величине элемент в объединении этих массивов за время O(log(n+m)).

Функция F(n).

 если n > 1:
   напечатать "всё ещё работаю"
   F(n/2)
   F(n/2)

Определение НОД-а.

            2НОД(a/2, b/2), если а и b чётны,
 НОД(a,b) = НОД(a, b/2), если а нечётно, b чётно,
            НОД((a-b)/2, b), если а и b нечётны.

Задачи взяты из книги "Алгоритмы", глава 2 (см. список рекомендованной литературы).

(19.01) Сложение и умножение

План занятия

1. Алгоритм сложения, его сложность (§1.1.1 Сложение*)
2. "Школьный" алгоритм умножения и его сложность (§1.1.2 Умножение*)
3. Рекурсивный алгоритм умножения и его сложность (§1.1.2 Умножение*)
4. Алгоритм умножения, реализующий стратегию "разделяй и властвуй", анализ сложности (§2.1 Умножение чисел*)

* Читать.

Домашнее задание (19.01 - 2.02)

В этой домашней работе нет задач со звёздочками. Все задачи являются обязательными.

Задачи

1. Найдите произведение чисел 10011011 и 10111010 (в двоичной системе счисления), используя алгоритм умножения чисел, основанный на методе «разделяй и властвуй». Необходимо не только дать ответ, но и привести ход решения.
2. Алгоритм, решая задачу размера n, производит 3 рекурсивных вызова для подзадач размера n-1 и комбинирует из них решение исходной задачи за О(n).
   1. Нарисуйте три верхних уровня дерева вызовов.
   2. Сколько всего будет уровней?
   3. Сколько подзадач на i-ом уровне?
   4. Какой размер каждой подзадачи на i-ом уровне?
   5. Какова сложность работы алгоритма?
3. Алгоритм, решая задачу размера n, производит 10 рекурсивных вызовов для подзадач размера n/2 и комбинирует из них решение исходной задачи за О(5n).
   1. Нарисуйте два верхних уровня дерева вызовов.
   2. Сколько всего будет уровней?
   3. Сколько подзадач на i-ом уровне?
   4. Какой размер каждой подзадачи на i-ом уровне?
   5. Какова сложность работы алгоритма?
4. Докажите, что 3m² + m = O(m²).
5. Докажите, что lg m = O(m/1000), где lg m — это логарифм с двоичным основанием.
6. Докажите, что из равенства f(n) = O(g(n)) не следует, что g(n) = O(f(n)).
7. Докажите, что O(m) содержится в O(m²).