Алгебра на ПМИ 2017/2018

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ171 БПМИ172 БПМИ173 БПМИ174 БПМИ175 БПМИ176 БПМИ177 БПМИ178
Лектор Иван Владимирович Аржанцев Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист Иван Владимирович Аржанцев Сергей Александрович Гайфуллин Роман Сергеевич Авдеев Полина Юрьевна Котенкова Сергей Александрович Гайфуллин Полина Юрьевна Котенкова Станислав Николаевич Федотов
Ассистент Елена Денисова Дарина Мадуар Даяна Мухаметшина Наталия Бабина Андрей Ткачёв Елизавета Лысова Даниил Рязановский Денис Ракитин

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Иван Владимирович Аржанцев 17:00–18:30, каб. 603
2
Роман Сергеевич Авдеев 15:40–17:40, ауд. 623 15:40–17:40, ауд. 623
3
Полина Юрьевна Котенкова
4
Сергей Александрович Гайфуллин
5
Станислав Николаевич Федотов
6
Елена Денисова 13:40–15:00, ауд. 511
7
Дарина Мадуар 13:40–15:00, ауд. 311
8
Даяна Мухаметшина 9:40– 10:20 ауд. 313 15:10 – 17:00 ауд. 219
9
Наталия Бабина 16:40–18:00, ауд. 308
10
Андрей Ткачёв 12:10–13:30, ауд. 304
11
Елизавета Лысова 16:40–18:00, ауд. 313
12
Даниил Рязановский C 12:10, комната 308
13
Денис Ракитин 16:40–18:00, ауд. 219

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,6 * Oдз + 0,4 * Oк/р,

где Oдз1 — оценка за домашние задания, Oк/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Информация для пилотного потока

Краткое содержание лекций

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

Лекция 1 (6.04.2018). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

Лекция 2 (13.04.2018). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

Лекция 3 (20.04.2018). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 4 (27.04.2018). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

Лекция 5 (11.05.2018). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

Лекция 6 (18.05.2018). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем.

Лекция 7 (25.05.2018). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.

Лекция 8 (1.06.2018). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Информация для основного потока

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (2.04.2018). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.

Лекция 2 (9.04.2018). Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп.

Лекция 3 (16.04.2018). Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей. Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

Лекция 4 (23.04.2018). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

Лекция 5 (27.04.2018). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель двух элементов. Кольца главных идеалов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b кольца главных идеалов и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность колец главных идеалов. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем. Теорема о том, что кольцо многочленов от одной переменной над полем является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены.

Лекция 6 (14.05.2018). Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера.

Лекция 7 (21.05.2018). Завершение доказательства критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Лемма Диксона. Теорема о существовании конечного базиса Грёбнера. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала.

Конспект лекций 6 и 7

Лекция 8 (28.05.2018). Поля. Характеристика поля. Простое подполе. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Свойства поля K[x]/(h), где h — неприводимый многочлен. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Экзамен

Формат экзамена: устный

Ведомости текущего контроля

171 172 173 174 175 176 177 178

Литература

  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.