Алгебра на ПМИ 2016/2017

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа БПМИ161 БПМИ162 БПМИ163 БПМИ164 БПМИ165 БПМИ166 БПМИ167 БПМИ168
Лектор Иван Владимирович Аржанцев Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист Иван Владимирович Аржанцев Сергей Александрович Гайфуллин Полина Юрьевна Котенкова Роман Сергеевич Авдеев Полина Юрьевна Котенкова Сергей Александрович Гайфуллин Станислав Николаевич Федотов
Ассистент Данила Кутенин Дарья Мусаткина Максим Каледин Вадим Гринберг Софья Иволгина Наталья Богданова Дмитрий Сморчков Дина Акимова

Расписание консультаций

Преподаватель/ассистент понедельник вторник среда четверг пятница
1
Иван Владимирович Аржанцев 15:00–16:30, каб. 603
2
Роман Сергеевич Авдеев 15:40–17:40, ауд. 623 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая)
3
Полина Юрьевна Котенкова
4
Сергей Александрович Гайфуллин 13:40–15:00, ауд. 607; по запросу на почту 15:00–17:00, ауд. 607
5
Станислав Николаевич Федотов
6
Данила Кутенин 15:10–16:30, ауд. 501
7
Дарья Мусаткина 13:30–15:00, ауд. 306
8
Максим Каледин 12:10–13:40, ауд.618
9
Вадим Гринберг 15:10–16:30, ауд. 322
10
Софья Иволгина 16:40–18:00, ауд. 618
11
Наталья Богданова 15:10–16:30 ауд. 219
12
Дмитрий Сморчков 16:40–18:00, ауд. ??
13
Дина Акимова 16:40–17:40, ауд. 501

Информация для пилотного потока

Порядок формирования оценок

Содержание лекций

В этом разделе даются ссылки на конспекты лекций аналогичного курса 2015 года.

Лекция 1 (4.04.2017). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

Лекция 2 (11.04.2017). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

Лекция 3 (18.04.2017). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 4 (25.04.2017). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы.

Лекция 5 (16.05.2017). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Информация для основного потока

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,6 * Oдз + 0,4 * Oк/р,

где Oдз1 — оценка за домашние задания, Oк/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (3.04.2017). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы.

Лекция 2 (10.04.2017). Циклические группы. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.

Лекция 3 (17.04.2017). Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей.

Лекция 4 (24.04.2017). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Действия групп на множествах: определение и задание при помощи гомоморфизма в группу преобразований множества. Орбита точки. Разбиение множества в объединение попарно непересекающихся орбит. Стабилизатор точки. Связь между числом элементов в орбите и порядком стабилизатора для действия конечной группы. Три действия группы на себе: умножениями слева, умножениями справа и сопряжениями. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

Лекция 5 (28.04.2017). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

Лекция 6 (15.05.2017). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. Теорема о том, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Наибольший общий делитель двух элементов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b евклидова кольца и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец.

Домашние задания

Домашнее задание 1

Домашнее задание 2

Домашнее задание 3

Домашнее задание 4

Домашнее задание 5

Ведомости текущего контроля

161 162 163 164 165 166 167 168

Литература

  • Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
  • А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
  • Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.