Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2024/2025 (основной поток)

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_AMI_24_osn

Преподаватели и учебные ассистенты

Основной поток ПМИ

Группа	БПМИ246	БПМИ247	БПМИ248	БПМИ249	БПМИ2410	БПМИ2411	БПМИ2412	БПМИ2413	БПМИ2414
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Роман Авдеев	Юлия Зайцева	Кирилл Шахматов	Илья Болдырев	Роман Стасенко	Михаил Игнатьев	Кирилл Шахматов	Александр Перепечко	Алина Никитина
Ассистент1	Ульяна Паркина	Екатерина Горинова	Артём Кичигин	Тимур Алиев	Матвей Замятин	София Сабгир	Денис Галимов	Дарья Морель	Екатерина Владимирова
Ассистент2	Александр Деревягин	Тимофей Булгаков	Максим Копнев	Екатерина Мирошник	Михаил Вовк	Карина Иванова	Артём Абросимов	Михаил Колос	Мария Прохорова
Ассистент курса	Аделя Гараева

Поток ЭАД

Группа	БЭАД241	БЭАД242	БЭАД243	БЭАД244	БЭАД245	БЭАД246
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Виталий Юделевич	Алёна Зароднюк	Роман Стасенко	Вероника Киктева	Виктор Лопаткин	Марк Черебедов
Ассистент1	Татьяна Лукина	Михаил Артёмов	Анна Попова	Полина Рыльцева	Вадим Пастушенко	Михаил Король
Ассистент2	Вероника Дмитренко	Дмитрий Мельник	Александр Гонсалес	Анна Русанова	Мария Филиппович	Алексей Токарев
Ассистент курса	Аделя Гараева

Расписание консультаций

Александр Перепечко: вторник 13:20–14:00 и 17:55–18:35

Вероника Киктева: среда 14:40–16:00

Алина Никитина: среда 11:10–12:30

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

O_{итоговая} = min(10; 0,35*O_экз + 0,22*O_колл + 0,15*O_к/р + 0,15*O_бдз + 0,15*O_сем + 0,08*O_л),

где O_экз — оценка за экзамен, O_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_бдз — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

O_{итоговая} = min(10; 0,32*O_экз + 0,23*O_колл + 0,17*O_к/р + 0,15*O_бдз + 0,15*O_сем + 0,08*O_л),

где O_экз — оценка за экзамен, O_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_бдз — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (2.09.2024) [слайды]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

Лекция 2 (9.09.2024) [слайды]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

Лекция 3 (16.09.2024) [слайды]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

Лекция 4 (23.09.2024) [слайды]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

Лекция 5 (30.09.2024) [слайды]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

Лекция 6 (7.10.2024) [слайды]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

Лекция 7 (14.10.2024) [слайды]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

Лекция 8 (17.10.2024) [слайды]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

Лекция 9 (21.10.2024) [слайды]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

Лекция 10 (11.11.2024) [слайды]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Лекция 11 (18.11.2024) [слайды]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

Лекция 12 (25.11.2024). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

Лекция 13 (2.12.2024). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

Лекция 14 (9.12.2024). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

3-4 модули

Лекция 15 (16.12.2024) [слайды]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

Лекция 16 (13.01.2025) [слайды]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 октября включительно

в период с 13 по 19 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 14 декабря включительно

в период с 8 по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

1-2 модули

ИДЗ-1

ИДЗ-2

ИДЗ-3

ИДЗ-4

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

ЛР-1

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 2 ноября, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

Организационная информация по проведению контрольной

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач с контрольной

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.

• Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
• Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
• Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
• Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
• Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
• Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

Коллоквиумы

2-й модуль

Даты: 29-30 ноября

Материалы для подготовки:

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Формат проведения:

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

Экзамены

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

2-й модуль

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Материалы для подготовки к экзамену:

I: список определений и формулировок

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):

• Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
• Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
• Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
• Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
• Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
• Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

246	247	248	249	2410	2411	2412	2413	2414	Э241	Э242	Э243	Э244	Э245	Э246

Результаты сдачи задач из листков

246	247	248	249	2410	2411	2412	2413	2414	Э241	Э242	Э243	Э244	Э245	Э246

Результаты 1-й контрольной работы

246	247	248	249	2410	2411	2412	2413	2414	Э241	Э242	Э243	Э244	Э245	Э246

Сводные таблицы с оценками

246	247	248	249	2410	2411	2412	2413	2414	Э241	Э242	Э243	Э244	Э245	Э246

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Ссылки

Telegram-канал семинаров в группе БПМИ246

Чат по ЛАиГ группы БЭАД246

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007