Алгебра ПИ 2025-2026

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПИ 251	БПИ 252	БПИ 253	БПИ 254	БПИ 255	БПИ 256	БПИ 257	БПИ 258	БПИ 259	БПИ 2510
Лектор	Михайлец Екатерина Викторовна
Семинаристы	Михайлец Екатерина Викторовна	Зайцева Юлия Ивановна	Хрыстик Михаил Андреевич	Преснова Екатерина Денисовна	Зайцева Юлия Ивановна	Медведь Никита Юрьевич	Преснова Екатерина Денисовна	Максаев Артём Максимович	Шахматов Кирилл Вениаминович	Бельдиев Иван Сергеевич
Ассистенты	Суханов Григорий, Савин Артём	Палий Александр, Хачукаев Рамзан	Симонов Алексей, Адаев Ислам	Черепенникова Варвара, Купцевич Эвелина	Осина Дарья, Лобан Филипп	Широкова Ульяна, Файзуллин Илья	Владимиров Алексей, Прокопьев Степан	Лапа Антонина, Лизунов Даниил	Жданок Дарья, Ноговицын Айтал	Торосян Андраник, Михайлов Артём, Марьин Даниил

Консультации

Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои. Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам. Таблица обновляется по воскресеньям.

Аттестация и оценки

2025/2026 учебный год 2 модуль

О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)

2025/2026 учебный год 4 модуль

О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)

Оценки за индивидуальные домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1(3)) и О_(ИДЗ-2(4)). Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4).

Прошедшие лекции

Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах.

Лекция 1 (03.09.2025): Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

Лекция 2 (10.09.2025): Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования. Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры. Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

Лекция 3 (17.09.2025): Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций. Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей. Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

Лекция 4 (24.09.2025):

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

Лекция 5 (01.10.2025):

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение. Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера. Определение обратной матрицы. Её единственность.

Лекция 6 (08.10.2025): Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы. Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

Лекция 7 (15.10.2025): Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры. Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример. Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

Лекция 8 (22.10.2025): Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством. СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ. Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ). Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

Лекция 9 (05.11.2025): Пример на совместность СЛАУ. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

Лекция 10 (12.11.2025): Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (окончание доказательства). Пример. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Пример. Комплексные числа, алгебраическая форма записи. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.

Лекция 11 (19.11.2025): Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости. Пример. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о том, что комплексный многочлен n-ной степени имеет n корней с учётом кратности.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
• В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003