Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

Преподаватели и учебные ассистенты

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

Основной поток ПМИ

Группа	БПМИ256	БПМИ257	БПМИ258	БПМИ259	БПМИ2510	БПМИ2511	БПМИ2512	БПМИ2513	БПМИ2514	БПМИ2515
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Роман Авдеев	Юлия Зайцева	Вероника Киктева	Илья Болдырев	Виктор Лопаткин	Роман Стасенко		Александр Перепечко	Виталий Юделевич	Алина Никитина
Ассистент1	Фомичев Михаил	Васильев Виктор	Югай Ирина	Гузюк Максим	Круковер Денис	Газизов Вячеслав	Сажина Варвара	Кравчук Илья	Веляев Алексей	Кузнецов Артём
Ассистент2	Козлова Анастасия	Храмова Дарья	Гузь Даниил	Босякова Яна	Овсянников Иван	Токарев Алексей	Бариева Алина	Муравьёва Юлия	Каткаева Айса	Абросимов Артём
Ассистент курса	Ульяна Паркина

Поток ЭАД

Группа	БЭАД251	БЭАД252	БЭАД253	БЭАД254	БЭАД255	БЭАД256
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Марк Черебедов	Кирилл Шахматов	Алёна Зароднюк	Кирилл Шахматов	Кирилл Александров	Артём Мартиросов
Ассистент1	Аненко Георгий	Гуськова Анна	Руданин Лев	Черваков Арсений	Ямалетдинов Арслан	Дзюба Юрий
Ассистент2	Баринов Николай	Селетникова Арина	Карпинская Алиса	Фомин Александр	Петров Егор	Гребенщикова Варвара
Ассистент курса	Ульяна Паркина

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

O_{итоговая} = min(10; 0,35*O_экз + 0,22*O_колл + 0,15*O_к/р + 0,15*O_бдз + 0,15*O_сем + 0,08*O_л),

где O_экз — оценка за экзамен, O_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_бдз — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (3.09.2025) [слайды]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

Лекция 2 (8.09.2025) [слайды]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

Лекция 3 (15.09.2025) [слайды]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

Лекция 4 (29.09.2025) [слайды]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

Лекция 5 (6.10.2025) [слайды]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

Лекция 6 (13.10.2025) [слайды]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

Лекция 7 (20.10.2025) [слайды]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ-1

ИДЗ-2

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 15 ноября, 14:40

Продолжительность работы: 120 минут

Организационная информация по проведению контрольной будет позже

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Экзамены

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Ведомости текущего контроля

Результаты проверки больших домашних заданий

256	257	258	259	2510	2511	2512	2513	2514	2515	Э251	Э252	Э253	Э254	Э255	Э256

Результаты сдачи задач из листков

256	257	258	259	2510	2511	2512	2513	2514	2515	Э251	Э252	Э253	Э254	Э255	Э256

Ссылки

Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256

Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007