Дискретная математика на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)
Содержание
ОБЪЯВЛЕНИЯ
Канал, где дублируются важные объявления курса (рекомендуем подписаться): LINK
Лекция 21.10 НЕ состоится и переносится на четверг, 16.10, 13:00-14:20. (Семинар у группы 251 21.10 тоже не состоится и переносится на четверг 16.10, 14:40-16:00.)
Общая информация о курсе Дискретная математика, пилотный поток, 1 курс
Преподаватели и ассистенты
Лекции: Артём Максимович Максаев
Распределение по группам
| Группа | Преподаватель | Консультационные часы преподавателя | Учебные ассистенты, отвечающие за группу |
|---|---|---|---|
| 251 | Артём Максимович Максаев | пятница, 14:40-16:00, T909 (по предварительной договоренности) | Дарья Линиченко, Борис Молонов |
| 252 | Михаил Викторович Игнатьев | среда 14:40-16:00, S812 (по предварительной договорённости) | Илья Кардашевский, Николай Маскин |
| 253 | Иван Сергеевич Бельдиев | понедельник, 13:00-14:20, S805 (по предварительной договорённости) | Илья Константинов, Айдар Хасанов |
| 254 | Валентин Валерьевич Промыслов | вторник, 18:10-19:30, T909 (по предварительной договоренности) | Вячеслав Гордеев, Георгий Одновол |
| 255 | Екатерина Денисовна Преснова | вторник, 18:10-19:30, S812 (по предварительной договоренности) | Григорий Служак, Евгений Степичев |
| 256 | Иван Сергеевич Бельдиев | понедельник, 13:00-14:20, S805 (по предварительной договорённости) | Александр Дарчиев, Степан Потапенко |
Ассистент, ответственный за лабораторные работы: Исмаил Велиджанов
Правила оценивания
Домашние задания выдаются еженедельно и сдаются перед следующим семинаром. Предварительная оценка за домашнее задание пропорциональна доле решенных задач (с учетом неполных решений, за которые выставляется неполный балл). Оценка становится окончательной после защиты домашнего задания. Трижды за весь курс (1-3 модули) домашнее задание разрешается сдать на неделю позже срока без потери баллов.
Экзамен — это письменная работа. Пересдача проводится по правилам экзамена. Комиссия проводится по тем же правилам в письменном формате (передаётся только экзамен, формула учитывает накопленную за курс оценку по остальным элементам контроля).
Оценка за курс в сессию после 2 модуля считается по формуле:
Промежуточная оценка = Округление(0.25 * ДЗ + 0.15 * КР + 0.25 * КОЛЛ-1 + 0.05 * ЛАБ-1 + 0.3 * ЭКЗ-1), где ДЗ – оценка за первые 9-12 домашних заданий (точное число будет объявлено в начале декабря), КР — оценка за контрольную работу, КОЛЛ-1 – оценка за коллоквиум-1, ЛАБ-1 – оценка за лабораторную работу-1, ЭКЗ-1 – оценка за экзамен-1.
Итоговая оценка за курс в сессию после 3 модуля считается по формуле:
Итоговая оценка = Округление(0.25 * ДЗ + 0.1 * КОЛЛ-1 + 0.2 * КОЛЛ-2 + 0.05 * ЛАБ-2 + 0.15 * ЭКЗ-1 + 0.25 * ЭКЗ-2), где ДЗ – оценка за все домашние задания за 1-3 модули, КОЛЛ-1 – оценка за коллоквиум-1, КОЛЛ-2 – оценка за коллоквиум-2, ЛАБ-2 – оценка за лабораторную работу-2, ЭКЗ-1 – оценка за экзамен-1, ЭКЗ-2 – оценка за экзамен-2.
В вычислениях текущие оценки и промежуточные величины не округляются. Результат вычисляется точно и округляется только в момент выставления промежуточной и итоговой оценок. При выставлении итоговой и промежуточных оценок используется следующее правило округления: между 1 и 5 округление вниз, между 5 и 6 округление арифметическое, между 6 и 8 округление вверх, а между 8 и 10 округление арифметическое. Т.е. 3,92 округляется до 3; 5,48 - до 5; 5,54 - до 6; 7,12 - до 8; 9,4 - до 9.
Результаты
| 251 группа ПМИ | 252 группа ПМИ | 253 группа ПМИ | 254 группа ПМИ | 255 группа ПМИ | 256 группа ПМИ |
|---|
Программа курса
Далее приводится содержание лекций с указанием литературного источника. Отметим, что литературный источник не заменяет лекции и лишь приблизительно ей соответствует: материал в нем может быть изложен иначе, быть неполным или, наоборот, чрезмерным для нашего курса.
Лекция 1. Метод математической индукции. Примеры задач: существование 2-раскраски областей на плоскости, неравенство Бернулли. Усиление утверждения. Ошибки в рассуждениях по индукции. Принцип полной индукции: задача о разбиении выпуклого многоугольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Доказательство эквивалентности принципа математической индукции, принципа полной индукции и принципа наименьшего числа.
Литература: [1, лекция 1]
Онлайн лекция 1. Правило суммы, задача о числе путей. Правило произведения, конечные слова в алфавите. Упорядоченный выбор k элементов из n (с повторениями или без повторений). Числа сочетаний: явная и рекуррентная формула. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Сумма и знакочередующаяся сумма биномиальных коэффициентов. Полиномиальные коэффициенты. Сочетания с повторениями. Число элементов в объединении двух множеств. Формула включений-исключений.
Литература: [1, лекция 2, §5.6]
Лекция 2. Множества и их элементы, примеры множеств. Парадокс Рассела. Операции со множествами. Доказательство теоретико-множественных тождеств: по определению и через таблицу истинности (разбор случаев). Упорядоченная пара, декартово произведение множеств. Определение функции, ее области определения и области значений, образа и полного прообраза множества. Инъекции, сюръекции, биекции.
Литература: [1, §5.1-5.2, §6.3-6.4]
Лекция 3. Композиция функций. Теорема об ассоциативности композиции всюду определенных функций. Обратная функция, критерий биективности функции. Утверждение о композиции биекций. Булевы функции, основные логические связки. Задание булевых функций таблицами истинности, количество булевых функций от n переменных. Простейшие тождества алгебры логики. Доказательство теоретико-множественных тождеств с помощью алгебры логики. Дизъюнктивная нормальная форма, теорема о существовании ДНФ для любой булевой функции. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
Литература: [1, §6.4-6.5, §5.3-5.5]
Лекция 4. Напоминание про ДНФ. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Многочлены Жегалкина. Теорема о представлении булевой функции полиномом Жегалкина (существование и единственность). Суперпозиция булевых функций, замыкание класса булевых функций, свойства замыкания. Полные системы связок, достаточное условие полноты системы. Полнота системы связок «конъюнкция, дизъюнкция, отрицание» и «конъюнкция, отрицание». Полнота системы связок «XOR, конъюнкция, 1». Класс линейных функций, его замкнутость.
Литература: [1, §5.4-5.5]
Лекция 5. Замкнутые классы булевых функций. Лемма о нелинейной функции. Двойственная функция, принцип двойственности. Класс самодвойственных функций, его замкнутость, лемма о несамодвойственной функции. Классы функций, сохраняющих константу, их замкнутость, леммы о функциях, не сохраняющих константу. Класс монотонных функций, его замкнутость, лемма о немонотонной функции. Критерий Поста полноты системы булевых функций.
Литература: [3, глава 1, §5-6]
Лекция 6. Предполные классы булевы функций, описание предполных классов. Формула включений-исключений: доказательство через индикаторные функции подмножеств. Равномощные множества, примеры. Счетные множества, счётность целых и рациональных чисел. Подмножества счетного множества. Счётность объединения и декартова произведения двух счетных множеств. Существование счетного подмножества у любого бесконечного множества. Лемма о не более чем счетном объединении не более чем счетных множеств. Теорема о том, что добавление счетного множества к бесконечному не меняет его мощности.
Литература: [3, глава 1, §6], [1, §5.6, §8.1-8.2], [2, §1.2-1.4]
Лекция 7. Несчетность множества бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Равномощность множеств: бесконечных последовательностей из 0 и 1; вещественных чисел; [0, 1]; [0, 1); (0, 1); множества всех подмножеств натуральных чисел. Мощность континуум. Равномощность отрезка и квадрата. Сравнение мощностей, его свойства. Пример: счетная мощность меньше континуальной. Теорема Кантора о сравнении мощности множества и мощности множества всех его подмножеств. Теорема Кантора-Бернштейна.
Литература: [1, §8.3-8.5], [2, §1.5-1.6]
Материалы курса
Листок 1. Математическая индукция
Листок 2. Перечислительная комбинаторика
Листок 5. Замкнутые классы булевых функций. Критерий Поста
Записи лекций
В этом учебном году регулярных видеозаписей лекций на профессиональную видеокамеру не ведется. Однако, силами web-камеры в аудитории, мы можем записывать лекции самостоятельно. Записанные лекции будут находиться по ссылке (файлы названы датой соответствующей лекции): LINK
Также на курсе есть две предзаписанные онлайн-лекции:
папка LEC 01 - лекция по базовой комбинаторике (просьба посмотреть до 16.09);
папка LEC 02 - лекция по основам теории неориентированных графов;
Варианты зимних экзаменов прошлых лет
Литература
- М.Вялый, В.Подольский, А.Рубцов, Д.Шварц, А.Шень. Лекции по дискретной математике. Изд. Дом ВШЭ, 2021. 495 с. Черновик этого учебника. В данной книге излагается почти всё, что будет в курсе (за исключением задач - те меняются чаще, чем пишутся книги). Как нетрудно догадаться, мы рекомендуем читать эту книгу (окончательный вариант есть на бумаге - издан издательством ВШЭ).
- Верещагин Н.К., Шень А. - Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств - Московский центр непрерывного математического образования - 2008 - ISBN: 978-5-94057-321-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9306
- Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. 4-е издание, стереотипное - М.: Высшая школа, 2003. - 484 с.
- Lovász, L., Pelikán, J., & Vsztergombi, K. (2003). Discrete Mathematics : Elementary and Beyond. New York: Springer. Retrieved from https://archive.org/details/discretemathemat0000lova/page/n9/mode/2up
- Дискретная математика. Углубленный курс: Учебник / Соболева Т.С.; Под ред. Чечкина А.В. - М.:КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 278 с.: - (Бакалавриат) - Режим доступа: https://znanium.com/catalog/document?id=343807
- Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2007. — 144 с.
- А. Ромащенко, А. Румянцев, А. Шень. Заметки по теории кодирования. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2017. — 88 с. URL: https://users.mccme.ru/anromash/courses/coding-theory-2017.pdf
- Р. Дистель, "Теория графов", второе издание, 2002, Springer, Graduate Texts in Mathematics, 173 https://books.google.ru/books?id=pZm8AAAAQBAJ&hl=ru&source=gbs_navlinks_s
