Генеративные модели на основе диффузии 25/26
Содержание
Общая информация
Курс предназначен для студентов 4 курса ФКН ПМИ, но приглашаются все желающие, уверенно знающие математику младших курсов (в особенности теорию вероятностей), базово ориентирующиеся в глубинном обучении и программировании на PyTorch.
Занятия проходят по средам 13:00-16:00, аудитория R208 (переносы будут сообщаться в чате).
Лектор: Денис Ракитин
Семинарист: Александр Оганов
Ассистент: Александр Зайцев
Оценки
Формула итоговой оценки: Оитог = 0.3 * Отдз + 0.2 * Опдз + 0.2 * Опроект + 0.3 * Оэкз. Округление арифметическое.
Отдз и Опдз обозначают средние оценки за теоретические/практические дз, соответственно.
Экзамен
Программа предыдущего года
Экзамен устный, состоит из билета и двух дополнительных вопросов. Один из дополнительных вопросов — задача, второй — вопрос на усмотрение принимающего (может быть задачей или вопросом по другим билетам). Разбалловка: 4 балла за билет и по 3 балла за доп. вопрос.
Проект
Состоит в реализации и проведении экспериментов с одной из рассмотренных на курсе моделей. Проект командный. Сдача проекта включает в себя github-репозиторий с имплементацией и написанный в pdf отчет.
Домашние задания
Домашние задания будут выдаваться в день лекции, то есть по средам, на некоторое число недель вперед. Мягкие дедлайны будут по средам. Жесткий дедлайн будет в воскресенье той же недели. За каждый день просрочки коэффициент при оценке уменьшается на 0.1. Таким образом, позднее всего можно сдать домашнее задание в воскресенье с коэффициентом 0.6.
Сдаются в Anytask, инвайт t6bwFj5
В курсе будут 5 теоретических и 3 практических домашних задания. Вес у всех задач одинаковый, задачи оцениваются из 1 балла. Если в задачах есть пункты, то будет подписано количество баллов за каждый пункт, иначе баллы между пунктами делятся поровну.
Теория
ДЗ-1, TeX исходник, мягкий дедлайн 24 сентября 23:59 (среда), жесткий дедлайн 28 сентября 23:59 (воскресенье).
ДЗ-2, ТеХ исходник, мягкий дедлайн 2 октября 23:59 (четверг), жесткий дедлайн 6 октября 23:59 (понедельник).
ДЗ-3, ТеХ исходник, мягкий дедлайн 22 октября 23:59 (среда), жесткий дедлайн 2 ноября 23:59 (воскресенье). Сессионные дни 25-31 октября не учитываются при снижении оценки за просрочку.
Лекции и семинары
Лекция / Семинар 1. Генеративное моделирование. Семейства генеративных моделей: вариационные автокодировщики (VAEs), генеративно-состязательные сети (GANs), диффузионные модели. Генеративная трилемма: генеративная модель должна обладать высоким качеством генерации, высоким разнообразием и скоростью генерирования. Повтор теории вероятностей: совместная и условная плотность, формула Байеса, подсчет матожиданий через плотности. Условное матожидание (УМО): определение через интеграл условной плотности. Свойства: линейность, формула полного матожидания, вынос функции от условия за УМО, УМО от независимой величины равна безусловному матожиданию. Условное матожидание как наилучшее предсказание в среднеквадратичном.
Гауссовские векторы/многомерное нормальное распределение. Три эквивалентных определения, формула плотности. Аффинная замена гауссовских векторов, эквивалентность независимости и некоррелированности их компонент, ортогональное разложение, условное распределение компоненты относительно другой компоненты.
Лекция / Семинар 2. Процессы зашумления с дискретным временем: процесс с сохраняющейся (variance preserving, VP) и взрывающейся (variance exploding, VE) дисперсией. Определение марковской цепи. Процессы зашумления являются марковскими цепями. Переходные плотности VP и VE процессов. Обучение диффузионной модели (статья DDPM) через минимизацию КЛ дивергенции между совместным распределением процесса зашумления и процесса, заданного моделью (модель с гауссовскими переходами "назад" по времени, в которой нейросеть предсказывает среднее). Декомпозиция КЛ дивергенции через сумму КЛ дивергенций переходных распределений. Эквивалентность функционала обучению нейросети-денойзера для предсказания чистой картинки по шумной.
Свойства марковских цепей: обращенный по времени марковский процесс является марковским; процесс, обусловленный на конечную точку, также является марковским. Подсчет КЛ дивергенции между многомерными нормальными распределениями.
Лекция / Семинар 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), схема Эйлера. Построение непрерывного аналога процесса удаления картинки, заданного через ОДУ. Определение Винеровского процесса. (Псевдо)-определение стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) через схему Эйлера. Построение непрерывных по времени аналогов VP и VE процессов: СДУ с сохраняющейся (VP-SDE) и взрывающейся (VE-SDE) дисперсией. Подсчет переходных распределений VE-SDE и VP-SDE с помощью решения линейных ОДУ.
Линейные СДУ вида dX_t = f(t) X_t dt + g(t) dW_t: обобщение VE/VP-SDE. Переходные плотности в линейных СДУ такого вида: гауссовское распределение, линейные ОДУ на матожидание и дисперсию, их решение. Визуализация непрерывных процессов зашумления: ноутбук, заполненный ноутбук.
Лекция / Семинар 4. Эволюция плотности частицы, движущейся под действием ОДУ/СДУ: уравнение непрерывности и уравнение Фоккера-Планка. Вывод общего вида законов сохранения (взято из курса УрЧП). Интерпретация уравнения непрерывности, теплопроводности и Фоккера-Планка через законы сохранения. Решение транспортного уравнения с константным сносом. Логарифмическое уравнение непрерывности, его решение методом характеристик. Применение к подсчету правдоподобия модели, заданной ОДУ.
Лекция / Семинар 5. Диффузионные модели с непрерывным временем. Переход от СДУ к ОДУ и обратно. Обращение ОДУ по времени. Обращение СДУ по времени (оригинальная статья) с помощью схемы СДУ -> ОДУ -> обратное ОДУ -> обратное СДУ. Score функция, ее представление через условное матожидание условной score функции, интерпретация и обучение методом Denoising Score Matching. Эквивалентность Denoising Score Matching обучению модели, предсказывающей чистое изображение/шум в изображении.
Выражение score функции VP-SDE через score функцию VE-SDE. Применение: имея обученную модель-денойзер, можно семплировать из VP-SDE и VE-SDE без переобучения модели. Предельное распределение однородного СДУ, связь со стационарным распределением, сведение к однородному уравнению Фоккера-Планка (d/dt p_t(x) = 0). Динамика Ланжевена: снос в СДУ, сходящейся к распределению p(x), с точностью до константы совпадает со score функцией. Применение к генерации семплов из распределения p(x) и связь с градиентным подъемом.
Лекция / Семинар 6. Имплементация диффузионных моделей на практике: ноутбук. Denoising Score Matching для обучения обусловленных диффузионных моделей. Обуславливание безусловных диффузионных моделей с помощью шумного классификатора: Classifier Guidance, контролирование баланса между правдоподобием и разнообразием семплов. Перенос той же техники на предобученные условные модели: Classifier-free Guidance.
