Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2024/2025 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ241	БПМИ242	БПМИ243	БПМИ244	БПМИ245
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Юля Зайцева	Дима Трушин	Дима Трушин	Михаил Игнатьев	Антон Трушин
Ассистент	Аскар Цыганов	Артем Степанов	Илья Ларин	Даша Линиченко	Даша Коровайцева

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота	воскресенье
1	Дима Трушин			17:00-20:00 S812
2	Юля Зайцева		18:10-21:00 S828*
3	Михаил Игнатьев
4	Антон Трушин

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (04.09.2024). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса.

Лекция 2 (11.09.2024). Матрицы, матричные операции и их свойства. Связь с линейными уравнениями. Обратимость матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (18.09.2024) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

Лекция 4 (25.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена. Матричные нормы (обзор).

Лекция 5 (02.10.2024) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

Лекция 6 (09.10.2024) Возведение циклов в степень. Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Доказательство импликации (II)=>(I).

Лекция 7 (16.10.2024) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу.

Лекция 8 (23.10.2024) Явная формула для обратной матрицы. Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена.

Лекция 9 (06.11.2024) Теорема Гамильтона-Кэли. Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции.

Лекция 10 (13.11.2024) Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел: сведение доказательства теоремы к утверждениям (1) и (2). Доказательство утверждения (1).

Лекция 11 (20.11.2024) Завершение доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств.

Лекция 12 (27.11.2024) Порождающая система, линейная оболочка. Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора.

Лекция 13 (04.12.2024) Описание всех базисов в терминах одного. Ранг конечной системы векторов, его связь с размерностью линейной оболочки системы. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 31 октября включительно

в период с 24 по 31 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 14 декабря включительно

в период с 8 по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

Общие сведения

Дедлайн мягкий. При сдаче после дедлайна оценка умножается на 0.7^t, где t -- неокругленное время в сутках. То есть за опоздание на 1 час ваша оценка умножится на 0.7^{1/24} = 0,98524843040891079410621037916238 За опоздание на 12 часов на 0,83666002653407554797817202578519 За опоздание на сутки на 0.7. За опоздание на двое суток на 0.49

Требования к тексту решений: 1) Решения можно написать от руки или набрать в системе LaTeX. Сдавать в LaTeX НЕ обязательно. Оформляйте решение так, как вам удобно. Главное, чтобы оно было читаемым и понятно написанным. 2) В случае нечитаемого почерка ассистент в праве не зачесть задачу. 3) Внимание, в этом ИДЗ вы должны писать все необходимые для решения вычисления. 4) Поясняйте свои решения. Важно, чтобы мы видели логику в ходе решения, а не просто взятый из воздуха без пояснений правильный ответ (ну или не правильный). Самое важное -- НЕ пропускайте объяснения и аргументацию.

Если кто-то из студентов группы не нашел своей фамилии среди вариантов или в случае любых других проблем, прошу мне об этом сообщить.

Если возникнут какие-нибудь вопросы в связи с этим заданием (например, по условию), то не стесняйтесь меня спрашивать (можно подходить до/после лекции или на консультацию, а также писать мне на почту или в телеграм).

В случае технических проблем (например, доступа к файлу) также прошу мне сообщать.

ИДЗ 2

• 241
• 242
• 243
• 244
• 245
• Out Внешние студенты

Что с этим делать: 1) Решения надо сдать в письменном виде до 23:00 1-го декабря. 2) Все решения должны быть сделаны вручную без использования даже самостоятельно написанных программ. 3) У каждого студента свой индивидуальный номер варианта из ИДЗ. Фамилии подписаны на вариантах. 4) Задания нужно сдавать ассистенту. Уточните у него как именно это сделать. 5) Надо не забыть получить удовольствие от процесса.

Контрольные работы

2-й модуль

Дата контрольной 30 ноября. Начало в 16:40. Аудитории R204, R206, R405. Более подробная информация будет чуть позже.

• Правила проведения контрольной.

• Условия задач с контрольной.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

241	242	243	244	245

Результаты сдачи задач из листков

241	242	243	244 !! 245

Результаты 1-й контрольной работы

Сводные таблицы с оценками

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

Результаты сдачи задач из листков

Результаты 2-й контрольной работы

Сводные таблицы с оценками

Ссылки

• Общие

1. Канал в Telegram
2. Лекции на github.
3. Алгоритмы на github.

• Группы 242 и 243

1. Группа в Telegram
2. Материалы семинаров и домашние задания

Литература

Учебники

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.