Теория вероятностей 2024/25 (основной поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ235	БПМИ236	БПМИ237	БПМИ238	БПМИ239	БПМИ2310	БПМИ2311	БПМИ2312
Лектор	Борис Демешев
Семинарист	Борис Демешев	Илья Левин	Никита Морозов	Борис Демешев	Максим Каледин	Голуба Юрьева	Вероника Владыкина	Голуба Юрьева
Ассистент	Ира Скворцова	Амелия Алаева	Алина Бадахова	Аделя Гараева	Мария Брель	Анна Зыкова-Мызина	Яна Вежновец	Кирилл Лавриненко
Ассистент курса	Никита Волянский

Цели и задачи курса

侍には目標がなく道しかない [Samurai niwa mokuhyō ga naku michi shikanai]

У самурая нет цели и ничего кроме пути.

Вероятный план:

1. Дискретное вероятностное пространство. Вероятность, математическое ожидание, теоретическая медиана. Перестановочные тесты, p-значение для перестановочного теста. Математическое ожидание = центр масс.

NB: здесь сходу рисуем дерево NB: здесь нет задач на условную вероятность

!предупреждение об обозначениях случайных величин. Российская традиция — греческие буквы, американская традиция — заглавные английские буквы. Наш курс: любые буквы. Причина: теория вероятностей применяется в разных областях, где свои традиции.

NB: Способы вычисления вероятностей и ожиданий:

   * полный перебор руками 
   * примерные вычисления руками
   * полный перебор на компьютере
   * симуляции на компьютере
   * ...

2. Методы решения задач:

• разложение величины в сумму
• метод первого шага

   !идея: позиция в игре имеет цену

• just for fun: метод рычага в геометрии через ожидание

NB: рассказать здесь про комплексную случайную величину NB: по сути здесь мы уже решаем задачи на марковские цепи не говоря страшных определений LOTUS.

3. Условная вероятность и условное ожидание. !идея: зануляем вероятности невозможных событий, а остальные — масштабируем. формула полной вероятности !идея: дерево "помнит" формулу полной вероятности формула Байеса

Независимые события. Независимые случайные величины.

4. Методы решения задач:

• производящие функции многих переменных

   функция как способ записать множество
   HTT vs TTH
   ABRACADABRA 
   !разложение по биномиальной формуле

?: можно здесь успеть функцию производящую моменты

5. Биномиальное распределение. Геометрическое и гипергеометрическое распределения. Отрицательное биномиальное распределение.

6. Равномерное распределение на множестве в R^n Функция распределения. Функция плотности и вероятностная дифференциальная форма.

   !пояснение про неудачную традиционную терминологию "непрерывная случайная величина"
   величина с функцией плотности, величина с непрерывной функцией распределения. 

Квантили, квантильная функция.

7. Характеристики случайных величин и неравенства. Дисперсия. Энтропия. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Неравенство Йенсена.

Здесь конец модуля 1 и КР-1!

8. Пуассоновский поток. Аксиомы пуассоновского потока. Вывод экспоненциального распределения и пуассоновского распределения из аксиом. Вывод экспоненциального распределения из предпосылки об отсутсвии памяти.

9. Нормальное распределение. Нормальное распределение: предпосылки Хершела-Максвелла. Нормальное распределение: аргументация Гаусса за среднее арифметическое. Нормальное распределение: предпосылки Лэндона (до уравнения в частных производных).

10. Классические непрерывные распределения.

Гамма-распределение, бета-распределение. Вывод нормального и экспоненциального распредений как минимизации энтропии.

11. Парные характеристики случайных величин. Наилучшая линейная аппроксимация. Ковариация. Корреляция. Кросс-энтропия.

Доказательство E(XY) = E(X) E(Y) для дискретных. Ковариационная матрица и ожидание для случайных векторов.

12. Совместная и условная функция плостности. Преобразования случайных величин.

13. Функция производящая моменты и характеристическая функция. Распределение суммы случайного количества случайных величин. Случайный выбор слагаемых.

14. Финансовые приложения

Оценивание опционов на биномиальном дереве. Максимизация долгосрочной прибыли, связь с энтропией. Возможно, индексы Гиттинса.

Здесь конец модуля 2 и КР-2

15. Сигма-алгебры.

Список известных величин как способ описания информации. Идея условного ожидания как оптимального прогноза. Сигма-алгебра как способ описания информации. Измеримость случайной величины относительно сигма-алгебры. Сигма-алгебра как ОДЗ для вероятности. Борелевская сигма-алгебра. Независимые случайные величины второе определение.

16. Условное математическое ожидание. Условная дисперсия. Сумма случайного количества случайных величин.

17. Сходимости случайных величин.

Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. Сходимость почти наверное. Усилинный закон больших чисел. Сходимость по распределению.

18. Связь сходимостей. Лемма Слуцкого.

19. Центральная предельная теорема. Доказательство через подмену слагаемых. Доказательство через характеристические функции.

Здесь контрольная.

20. Винеровский процесс Условные ожидания, инверсия.

21. Байесовский подход к оцениванию параметров

Балансовое уравнение. Идея MCMC.

22. Доказательства свойств меры

23. Алгоритм построения математического ожидания в общем случае. Лемма Фату. Теорема о мажорируемой сходимости. Теорема о монотонной сходимости.

24. Резерв.

Жемчужинки, которые, вероятно, не успеем:

А. Методы решения задач: подсчёт случаев с помощью леммы Бернсайда и теоремы Пойа о перечислении (Burnside lemma, PET = Polya Enumeration Theorem)

B. вероятностные доказательства детерминистических теорем

Оценивание

Оценка за семестр-1 = 0.2 Домашние задания семестра-1 + 0.4 Контрольная-Альфа + 0.4 Экзамен-Бета.

Финальная оценка за курс = 0.5 Оценка за семестр-1 + 0.1 Домашние задания семестра-2 + 0.2 Контрольная-Гамма + 0.2 Экзамен-Дельта.

Каждая оценка (суммарные итоги за домашние задания, контрольные, экзамены) — целое число от 0 до 100. Для перевода в 10-балльную шкалу промежуточной оценки за семестр-1 и финальной оценки используется деление на 10 с арифметическим округлением.

Домашние задания для самураев

Домашние задания одним файлом и отдельными файлами. Домашние задания имеют равный вес. В конце каждой лекции (за исключением ближайших к экзамену лекций) выдается домашнее задание сроком на две недели. Дедлайн жёсткий, однако студент имеет право просрочить три домашних задания на неделю каждое без штрафа.

Формат сдачи ДЗ: один pdf-файл (решение текстовых задач) и один ipynb-файл (решение компьютерных задач). В pdf-файл можно поместить аккуратно написанное отсканированное решение, а можно скомпилировать pdf из теха или маркдауна. Ещё можно вместо pdf-файла написать всё в ipynb. Бонусов за сдачу домашки в техе нет. Пример шаблона.

Обратите внимание: время каждого дедлайна — 21:00.

Контрольные работы и экзамен

Вес каждой задачи будет написан в тексте работы. Задачи с ненаписанным по случайности весом имеют равный вес. Для пропущенных по уважительной причине контрольных будет выделен один день для переписывания. При пропуске дня переписывания, в том числе по уважительным причинам, ещё одного шанса не предоставляется.

Учебные материалы

PP: Листки с задачами к курсу.

PDNA: Вероятностная ДНК = вкусные задачи по теории вероятностей.

Летопись семинаров и лекций от тайного благожелателя

Дневник самурая

2024-09-02, лекция 1: Определение события. Определение случайной величины. Аксиомы вероятности. Определение математического ожидания для дискретного случая. Линейность математического ожидания. Первое знакомоство с перестановочным тестом и p-значением.

Можно глянуть: главы 2.1 и 7 из WTSK

2024-09-09, лекция 2: Метод первого шага (вероятность выпадения HTH ранее HHT, ожидаемое количество шагов). Метод разложения случайной величины в сумму. Определение случайного вектора. Использование интерпретации ожидания как центра масс в геометрии. Определение теоретической медианы.

Можно глянуть: глава 2.7.2 из BItP, три стратегии решения задачи за 10 минут Visually Explained

2024-09-16, лекция 3: Получение новой информации приводит к пересчёту вероятностей. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Условное математическое ожидание. Формула полного математического ожидания. Независимость пары событий. Независимость набора событий в совокупности. Независимость величин: неформальное определение. Критерий независимости произвольных величин. Критерий независимости дискретных величин.

2024-09-23, лекция 4: Доказательство критерия независимости для дискретных случайных величин: из независимости {X=x} и {Y=y} следует независимость {X in A} и {Y in B}. Независимость величин равносильна E(f(X))E(g(Y))=E(f(X)g(Y)) для произвольных f, g. Определение биномиальной, геометрической (как числа неудач до 1го успеха) и отрицательной биномиальной случайной величины. Общая идея за производящими функциями: как из функции, производящей исходы эксперимента, с помощью производных и подстановок выудить индивидуальные вероятности, совместные вероятности, ожидания любой степени E(X^a), E(X^a Y^b). Формальное определение функции, производящей вероятности, и функцию, производящей моменты, для одной случайной величины и пары случайных величин. Метатеорема: все теоремы о дискретных величинах доказываются перестановкой слагаемых.

Семинары

473 = 235 + 238

2024-09-02, 06, семинар 1: задачи 1.1, 1.6, 3.5 из PP

2024-09-09, 13, семинар 2: задачи 2.1, 2.3, 12.7 из PP

2024-09-16, 20, семинар 3: задачи 7.12 и 7.4 из PP

2024-09-23, 27, семинар 4: как извлечь P(X=3), E(X), E(X^2Y) из функции, производящей список исходов, 28.16 из PP

236

2024-09-06, семинар 1: в начале семинара рассмотрели основные понятия и определения для решения задач. Решили задачи 1.1, 1.6, 3.5 из PP

2024-09-13, семинар 2: нашли ожидание случайной величины с геом. распределением. Решили задачи 2.1, 12.6, 12.10 из PP.

2024-09-20, семинар 3: Решили задачи 7.12, 7.4(а), 7.7, 7.13(а) из PP.

237

2024-09-09, семинар 1: задачи 1.1, 2.2 из PP, вероятность что n ладей не бьют друг друга при случайной расстановке на шахматной доске n на n, матожидание числа треугольников в случайном графе на n вершинах через сумму индикаторов

2024-09-13, семинар 2: задачи 2.1, 2.6, 12.3, 12.6, 12.7 (без дисперсий) из PP

2024-09-23, семинар 3: задачи 7.2, 7.13, 7.7, 7.8, плюс начали 7.15b (получили неверный ответ) из PP

239

2024-09-03, семинар 1: задачи 1.1, 1.4, пытались 1.8 из PP. Ещё успели посчитать вероятность N=k бросков монеты до выпадения первого орла, матожидание N. И ещё сделали то же для количества бросков до выпадения 3 орлов (не в серии).

2024-09-10, семинар 2: доказали формулу включения-исключения, решили несложную задачу, порешали 2.7 задачи типа 12.*

2024-09-10, семинар 3: Решили две прямых задачи на формулу Байеса и формулу полной вероятности (без большого количества вычислений). Решили задачу поиска вероятности неисправного кофе-автомата из 3 при условии, что бросили деньги в 1 и 2 и их зажевало. Ещё нашли вероятность, что мяч будет у игрока 3 после шага 10 (все садятся в круг и на каждом шаге бросают мяч соседу с вероятностью 0.3 и оставляют у себя с вероятностью 0.4).

2311

2024-09-06, семинар 1: вероятностное пространство, вероятность на нем, вероятность события, случайная величина и ее распределение (индикатор события, сумма двух кубиков, число бросаний монетки до первого орла), матожидание случайной величины (индикатор, один кубик, два кубика), линейность матожидания. Задачи на линейность матожидания, в том числе ЕГЭшная задача про турнир, 1.5, 3.5 с допвопросом о матожидании числа совпадений. Разговор о получении события произвольной вероятности монеткой в контексте 1.8

2024-09-13, семинар 2: Повторили матожидание суммы на примере 12.3. Обсудили условную вероятность и формулу полной вероятности, условное матожидание, решили задачи на метод первого шага 2.1, 2.3, 2.7.

2024-09-20, семинар 3: Условная вероятность, формула полной вероятности, формула Байеса: 7.1, классическая задача про болезни и тесты, простейшие задачки на общее понимание, обсуждение двух подходов: вычисления условной вероятности по формуле и составления нового вероятностного пространства и подсчет вероятности в нем. Независимые события (события "пики" и "дама" в обычной колоде и колоде с джокерами), независимые в совокупности события, построили пример попарно независимых, но не независимых в совокупности. Обсудили биномиальное распределение. решили задачу: "в корабле к отсеков, чтобы корабль затонул, нужно поразить 2. Независимо выпускают n ракет, каждая из которых поражает случайный отсек с вероятностью p. Найти вероятность потопления корабля"

2310, 2312

2024-09-06, семинар 1: задача 1.1 из PP. Определили вероятностное пространство в виде тройки, множество исходов рассматривали конечное и счётное. Решили 3 счётные задачи на комбинаторику про колоды карт и счетные последовательности цифр. Привели геометрическое и аналитическое решения задачи про нахождение предела последовательности вероятностей. В конце нашли математическое ожидание геометрически распределённой случайной величины.

2024-09-13, семинар 2: задача 2.1 из PP. Задача на упорядоченные и неупорядоченные наборы. Задача про классическое вероятностное пространство и про пространство с неравновероятными исходами. Разобрали парадокс Монти Холла. Ввели понятия условной вероятности и независимых случайных величин. Сформулировали и обсудили идеи доказательств трёх теорем: теорема умножения вероятностей, формула полной вероятности и формула Байеса.

Источники

Источники мудрости, которые я постарался не замутить :)

WTSK: Tim Hesterberg, What Teachers Should Know About the Bootstrap: вкусное и доступное изложение бутстрэпа и перестановочных тестов.

BItP: Blitzstein, Hwang, Introduction to Probability: учебник, записи лекций, гарвардский курс.