Математическое моделирование 22
Содержание
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается во 2-ом семестре 2021/2022 учебного года на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ для специализации Математическая инженерия.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- собственно модели (вариационное исчисление, дифференциальная геометрия, физика),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
В рамках семестрового курса мы вряд ли имеем возможность вникать в изучаемые темы слишком глубоко. Многие из представленных ниже тем в отдельности могли бы претендовать на семестровый курс, или даже более. Наш курс следует рассматривать как не более, чем знакомство с некоторыми задачами и методами математического моделирования. Приведенные в каждой теме литературные ссылки могут быть полезны для более детального изучения (эти книги рекомендуется по крайней мере бегло просматривать, чтобы составить себе общее представление). Дополнительные, более конкретные ссылки приведены в списках задач.
0. Введение в математическое моделирование
Занятия 1,2 (17.01):
0.1 Общее представление о математической модели.
0.2 Корректность по Адамару.
0.3 Математическая модель как система уравнений.
0.4 Пример алгебраического уравнения: уравнение Кеплера.
Занятия 3,4 (24.01):
0.5 Примеры моделей, связанных с ОДУ
0.6 Дифференциальные операции векторного анализа
Занятие 5 (31.01):
0.7 Примеры моделей, связанных с УрЧП
0.8 Примеры моделей, некорректных по Адамару
Литература (вообще по предмету математическое моделирование):
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001
2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003
3. Амелькин В.В., Садовский А.П. - Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Выш. школа, 1982
1. Вариационное исчисление
Занятие 6 (31.01):
1.1 Основные нормированные пространства
1.2 Понятие непрерывного функционала
Занятия 7,8 (07.02):
1.3 Механическая система, функция Лагранжа и функционал действия
1.4 Типы вариационных задач
1.5 Дифференциал (вариация) функционала и необходимое условие экстремума
Занятия 9,10 (14.02):
1.6 Основные леммы вариационного исчисления
1.7 Задача с закрепленной границей
Занятия 11,12 (21.02):
1.8 Задача со свободной границей
1.9 Задача с подвижной границей, условие трансверсальности
1.10 Задача на условный экстремум
Занятия 13,14 (28.02):
1.11 Уравнения Гамильтона
1.12 Теорема Нётер и законы сохранения
1.13 Уравнение Гамильтона - Якоби
Литература:
1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. - Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961
2. Смирнов В.И. - Курс высшей математики. Том 4 часть 1. М.: Наука, 1974. Глава 2
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Курс теоретической физики. Том 1. Механика.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 5, 6
2. Дифференциальная геометрия
[ Задачи]
Занятия 15,16 (07.03):
2.1 Понятие кривой
2.2 Кривизны, сопровождающий базис и уравнения Френе
Занятия 17,18 (14.03):
2.3 Понятие поверхности
2.4 Первая квадратичная форма. Изометричность
Занятия 19,20 (04.04):
2.5 Вторая квадратичная форма. Главные кривизны
2.6 Средняя кривизна и полная кривизна
Занятия 21,22 (11.04):
2.7 Деривационные формулы Гаусса - Вейнгартена. Символы Кристоффеля
2.8 Уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци
Занятие 23,24 (18.04):
2.9 Ковариантная производная и геодезические линии
Литература:
1. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3. М.: 1970. Глава 16
2. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: 1972. Глава 5.
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 1, 2
4. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. - Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, том 28, Геометрия-1. М.: ВИНИТИ, 1988. Главы 1,2
5. Савелов А.А. - Плоские кривые. М.: ЛИБРОКОМ, 2014
6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. - Аналитические поверхности. М.: Наука, 2006
3. Задача Коши для УрЧП
[ Задачи]
Занятие 25,26 (25.04):
3.1 Система уравнений в дифференциалах и сопряженная система УрЧП
3.2 Теорема Фробениуса и сведение к ОДУ
Занятия 27,28 (16.05):
3.3 Линейное однородное УрЧП I-го порядка и характеристики
3.4 Обобщение на квазилинейный и нелинейный случай
Занятия 29,30 (23.05):
3.5 Уравнения и системы уравнений класса Ковалевской
3.6 Задача Коши для системы уравнений класса Ковалевской
Занятия 31,32 (30.05):
3.7 Задача Коши для системы уравнений общего вида и проблема ее корректности
3.8 Метод Фурье исследования устойчивости решения задачи Коши
Литература:
1. Хартман Ф. - Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. Глава 6
2. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. Глава 1 §7, глава 2
3. Рашевский П.К. - Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2012
4. Фиников С.П. - Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.
4. Краевые задачи для УрЧП
Литература:
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004
2. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971
3. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964
4. Самарский А.А., Гулин А.В. - Численные методы. М.: Наука, 1989
Занятия
Занятия проводятся в смешанном формате, без разделения материала на теорию / практику. Теоретический материал сопровождается практическим решением задач как аналитически (вручную или в системе компьютерной алгебры), так и численно (например, в питоне).
Записи занятий выкладываются в [ плейлист]
Формы контроля
По каждой теме (кроме Введения) выдается домашнее задание, выполнение которого оценивается.
Текущие оценки за домашние работы выставляются в [ гугл-таблицу]. Все домашние работы учитываются с одинаковым весом и складываются в среднюю оценку (Д).
В конце семестра предусмотрен экзамен (Э), имеющий формат большой контрольной работы по всему материалу курса.
Итоговая оценка = 0.7 Д + 0.3 Э
