Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2018/2019 (основной поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ183	БПМИ185	БПМИ186	БПМИ187	БПМИ188	БПМИ189
Лектор	Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист	Дмитрий Витальевич Трушин	Роман Сергеевич Авдеев	Сергей Александрович Гайфуллин	Станислав Николаевич Федотов	Антон Андреевич Шафаревич	Сергей Александрович Гайфуллин
Ассистент	Александр Газарян	Тимур Петров	Лев Хорошанский	Илья Анищенко	Анна Соколова	Наталия Бондаренко

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Роман Сергеевич Авдеев				15:40–17:40, ауд. 623
2	Дмитрий Витальевич Трушин				15:10–16:30, ауд. 300
3	Сергей Александрович Гайфуллин				18:10–19:30, ауд. 435
4	Станислав Николаевич Федотов
5	Антон Андреевич Шафаревич		18:10–19:30, ауд. 618
6	Александр Газарян					9:00–10:20, ауд. уточняется
7	Тимур Петров		16:40–18:00, ауд. 308
8	Лев Хорошанский		10:30–11:50, ауд. 501
9	Илья Анищенко		12:10–13:30, ауд. уточняется
10	Анна Соколова	9:00–10:20, ауд. 310
11	Наталия Бондаренко		12:10–13:30, ауд. 618

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,33 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,29 * O_д/з + 0,13 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (6.09.2018). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

Лекция 2 (8.09.2018). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений.

Лекция 3 (20.09.2018). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

Лекция 4 (27.09.2018). Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Перестановки и подстановки.

Лекция 5 (4.10.2018). Инверсии в подстановке. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Теорема о знаке произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3.

Лекция 6 (11.10.2018). Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители.

Лекция 7 (13.10.2018). Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы.

Лекция 8 (13.10.2018). Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 20 октября включительно

в период с 15 по 20 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2 будут объявлены позднее.

Контрольные работы

2-й модуль

Дата-время: 16 ноября, 16:40–18:40, ауд. 622 и 317

Распределение групп по аудиториям будет объявлено позднее.

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.

• Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
• Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8, 18.9, 18.11
• Подстановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
• Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
• Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
• Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316; К 14.1

Ведомости текущего контроля

Результаты проверки больших домашних заданий

183	185	186	187	188	189

Результаты сдачи задач из листков

183	185	186	187	188	189

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.