Теория вероятностей 2016/2017 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ151	БПМИ152
Лектор	Шабанов Дмитрий Александрович
Семинарист	Шабанов Дмитрий Александрович	Наумов Алексей Александрович
Ассистент	Полина Кириченко	Алексей Космачев

Организационные моменты

Оценка будет складываться из нескольких факторов:

• Две контрольных работы.
• Два коллоквиума - по одному на модуль.
• Домашние задания. В среднем, на каждом семинаре будут выдавать по 2-3 задачи для самостоятельного решения, которые будет нужно письменно сдавать ассистентам.
• Письменный экзамен - "расширенная КР". Два часа на 6 задач.

Итоговая оценка высчитывается следующим образом: О_итог = 0.3 * О_КР + 0.3 * О_{коллоквиум} + 0.1 * О_ДЗ + 0.3 * О_{экзамен}

На данный момент автоматов не предусмотрено.

Контрольные работы

Правила игры:

• На контрольной работе будет 4 задачи.
• У каждой задачи есть три критерия. За соблюдение каждого критерия ставят по 0.5 балла. Следовательно, за каждую задачу можно получить не более 1.5 балла.
• Баллы за обе контрольные суммируются и полученная сумма округляется арифметически. Это и будет О_КР.
• С собой разрешено приносить печатные материалы.

Первая контрольная

Темы:

• Простой подсчёт вероятности
• Комбинаторные приёмы
• Условная вероятность
• Математическое ожидание и дисперсия

Первая контрольная работа будет проходить 14 октября на семинарах. Для подготовки предлагается пробный вариант и его разбор.

Переписывание первой контрольной будет происходить 25 ноября в 13:40 в аудитории 317.

Вторая контрольная

Темы:

• Геометрическая вероятность
• Математическое ожидание и дисперсия в общем случае
• Формулы свёртки
• Многомерные распределения
• (дополнительно) Вероятностный метод

Вторая контрольная работа будет проходить 17 декабря в 13:40 в аудитории 205.

Для подготовки предлагается пробный вариант и его разбор.

Коллоквиумы

Формирование оценки на коллоквиуме:

• письменный ответ на 1 из вопросов (с доказательствами), из 3 баллов, время подготовки - 30 минут.
• два вопроса из программы по выбору принимающего (без доказательств, только определения формулировки), из 1 балла каждый.
• всего можно заработать 5 баллов.

Первый коллоквиум

Дата проведения первого коллоквиума - 5 ноября, начало в 12:10 в аудитории 509.

Здесь можно найти список тем для первого коллоквиума.

Второй коллоквиум

Дата проведения второго коллоквиума - 10 декабря, начало в 12:10 в аудитории 509.

Здесь можно найти список тем для второго коллоквиума. Примечание: в вопросе о свойствах математического ожидания отмечено буквой (д), какие свойства надо доказывать.

Лекции

Здесь можно найти конспекты лекций и семинаров 151 группы.

Предупреждение: конспекты ведутся студентами. Возможны различные опечатки и недочёты.

Лекция 1 (09.09.2016). Организационные моменты. Предмет теории вероятностей. Вероятностное пространство. Вероятность и её простейшие свойства. Классическая модель. Примеры классических моделей. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Лекция 2 (16.09.2016). Задача о сумасшедшей старушке. Задача об удачливом студенте. Теорема Байеса. Независимость: для двух событий, попарная и по совокупности. Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах.

Лекция 3 (23.09.2016). Распределение случайной величины. Примеры распределений. Независимость случайных величин. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания. Дисперсия. Ковариация. Их свойства. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Лекция 4 (30.09.2016). Сходимость случайных величин по вероятности. Закон больших чисел. Связь закона больших чисел и принципа устойчивости частот. Сходимость случайных величин почти наверное. Связь между сходимостями. Одинаковая распределённость. Теорема Пуассона. Теорема Муавра-Лапласа.

Лекция 5 (07.10.2016). Применение теоремы Муавра-Лапласа для оценки вероятности. Скорость сходимости закона больших чисел. Неравенство Чернова. Алгебры событий. Задача k-SAT (формулировка).

Лекция 6 (14.10.2016). Формула умножения вероятностей. Локальная лемма Ловаса (несимметричный и симметричный случаи). Задача K-SAT и её свойства. Теорема о связи выполнимости и количества вхождений переменной в дизъюнкты. Алгоритмы получения выполняющего означивания: наивный и продвинутый. Теорема Мозера-Тардоша. Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

Лекция 7 (21.10.2016). Общее определение вероятностного пространства. Алгебры, сигма-алгебры и борелевские сигма-алгебры. Вероятностная мера и её основные свойства. Теорема о непрерывности вероятностной меры (эквивалентность четырёх свойств). Борелевская сигма-алгебра на R и примеры вероятностных мер на (R, B(R)).

Лекция 8 (01.11.2016). Функция распределения на прямой. Теорема Каратеодори (без доказательства). Теорема о взаимно-однозначном соответствии между функцией распределения на прямой и вероятностной мерой. Классификация функций распределения на прямой: дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные. Примеры функций распределения.

Лекция 9 (08.11.2016). Канторова лестница как пример сингулярной функции распределения. Теорема Лебега о разложении меры (без доказательства). Случайные величины и векторы в общем случае. Действия над случайными величинами. Борелевские функции. Арифметические операции, взятие пределов, максимизация и минимизация случайных величин. Простые случайные величины. Математическое ожидание простой случайной величины. Математическое ожидание для неотрицательной случайной величины.

Лекция 10 (15.11.2016). Свойства математического ожидания для простых случайных величин. Корректность определения математического ожидания для неотрицательной случайной величины. Математическое ожидание случайной величины в общем случае. Свойства математического ожидания в общем случае.

Лекция 11 (22.11.2016). Формулы подсчёта математического ожидания. Распределения. Классификация случайных величин. Вычисление математического ожидания от функции от случайной величины в дискретном, абсолютно непрерывном и в общем (без доказательства) случаях. Независимость (в совокупности) случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.

Лекция 12 (29.11.2016). Функция распределения в R^n. Свойства многомерной функции распределения. Теорема о взаимно-однозначном соответствии функции распределения и вероятностной меры в многомерном случае (без доказательства). Примеры многомерных функций распределения. Совместные функция распределения, распределение и плотность распределения многих случайных величин, их свойства. Матожидание от функции многих случайных величин (без доказательства). Математическое ожидание от произведения двух (не обязательно независимых) случайных величин.

Лекция 13 (06.12.2016). Различные формулы для вычисления вероятностной меры случайного вектора. Формула замены переменных в кратном интеграле. Формула свёртки для суммы. Дисперсия и ковариация случайной величины в общем случае. Их свойства. Математическое ожидание случайного вектора. Матрица ковариация случайного вектора и её свойства.

Лекция 14 (13.12.2016). Неравенства Маркова, Чебышёва и Йенсена. Сходимости случаных величин: почти наверное, в среднем порядка p, по вероятности и по распределению. События, происходящие бесконечное число раз. Критерий сходимости почти наверное. Связь сходимости ряда из вероятностей отклонения и сходимости почти наверное. Теорема о взаимоотношении сходимостей. Сходимость почти наверное подпоследовательности последовательности, сходящейся по вероятности.

Лекция 15 (20.12.2016). Усиленный закон больших чисел (с четвёртым центральным моментом). Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова. Предельный переход под знаком математического ожидания. Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Характеристические функции и их свойства. Пример использования характеристических функций для нахождения распределения суммы пуассоновских случайных величин.

Лекция 16 (13.01.2017). Предмет изучения математической статистики. Классический пример: эпидемия в городе. Вопрос эмпирического выбора. Регрессионная модель. Проверка однородности. Проверка независимости. Дополнительные свойства характеристических функций: теорема единственности и теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрической линейной комбинацией. Нахождение характеристической функции нормального стандартного распределения и следствия из неё. Теорема Леви об обращении (без доказательства).

Лекция 17 (20.01.2017). Дифференцирование и "разложение в ряд" характеристической функции случайной величины. Характеристическая функция случайного вектора. Теорема единственности в многомерном случае. Критерий независимости для характеристических функций. Теорема непрерывности (без доказательства) и центральная предельная теорема. Оценка скорости сходимости в законе больших чисел. Пример применения ЦПТ: оценка суммарной погрешности измерений. Теорема Берри-Эссеена (без доказательства). Оценка параметров нормального распределения по выборке.

Лекция 18 (27.01.2017). Сходимость случайных векторов: почти наверное, по вероятности и по распределению. Теорема об эквивалентности определений сходимости по распределению. Связь общей и покомпонентной сходимости. Лемма о взаимосвязи сходимостей. Теорема о наследовании сходимости. Лемма Слуцкого. Пример их применения. Усиленный закон больших чисел в многомерном случае. Многомерное нормальное распределение. Теорема о трёх экввалентных определениях.

Лекция 19 (03.02.2017). Следствия из теоремы о трёх эквивалентных определениях: смысл параметров многомерного нормального распределения, корректность его определения и инвариантность относительно линейных преобразований. Критерий независимости компонент гауссовского вектора. Плотность многомерного нормального распределения и условия его существования. Многомерная ЦПТ и пример её применения. Условное математическое ожидание. Теорема о единственности для условных математических ожиданий.

Лекция 20 (10.02.2017). Вычисление условного математического ожидания в дискретном случае. Свойства условного математического ожидания. Условные распределения и плотности. Теоремы о вычислении условного математического ожидания и условной плотности. Пример вычисления условного математического ожидания.

Домашние задания

ДЗ 1 от 09 сентября 2016.

ДЗ 2 от 16 сентября 2016.

ДЗ 3 от 23 сентября 2016.

ДЗ 4 от 30 сентября 2016.

ДЗ 5 от 7 октября 2016.

ДЗ 6 от 21 октября 2016.

ДЗ 7 от 1 ноября 2016.

ДЗ 8 от 8 ноября 2016.

ДЗ 9 от 15 ноября 2016.

ДЗ 10 от 23 ноября 2016.

ДЗ 11 от 29 ноября 2016.

ДЗ 12 от 6 декабря 2016.

ДЗ 13 от 13 января 2017.

ДЗ 14 от 20 января 2017.

ДЗ 15 от 27 января 2017.

ДЗ 16 от 3 февраля 2017.

ДЗ 17 от 10 февраля 2017.

Список рекомендуемой литературы

Учебники

• В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения, тт.1-2. М.: Мир, 1984
• А.Н. Ширяев. Вероятность. М.: Изд-во МЦНМО, 2004 (или новее)
• S. Janson, T. Luczak, A. Rucinski. Random Graphs. М.: Wiley-Interscience, 2000 (глава Small Probabilities)
• Н. Алон, Дж. Спенсер. Вероятностный метод. М.: Бином, 2011

Задачники

• А.Н. Ширяев. Задачи по теории вероятностей. М.: Изд-во МЦНМО, 2006 (или новее)
• А.Н. Ширяев, И.Г. Эрлих, П.А. Яськов. Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). Книга 1. М.: Изд-во МЦНМО, 2014