Задача коммивояжера (проект)

Ментор	Алексей Гусаков
Учебный семестр	Весна 2015
Учебный курс	1-й курс

Что это за проект?

Задача коммивояжера заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через заданные города с последующим возвратом в исходный город. Для этой простой задачи нет (и скорее всего не будет) решения, правильно работающего за полиномиальное время. Однако, существуют подходы, дающие неплохие практические результаты. Мы изучим два таких подхода: переборный и приближённый. В первом подходе изучим техники, позволяющие быстро находить правильное решение для 50-100 городов, во втором - быстро находить решение, которое доказуемо "не сильно" (в 1.5 раза) отличается от правильного. Результатом работы будет библиотека, реализующая один из двух подходов.

Чему вы научитесь?

• Основам теории графов
• Основам приближённых алгоритмов
• Как использовать линейное программирование (и что это такое), чтобы оптимизировать перебор
• Писать код без ошибок (ну почти что)
• Визуализировать решение

Какие начальные требования?

• Программирование на C/C++ (в рамках прослушанного курса)
• Желание разбираться в алгоритмах

Какие будут использоваться технологии?

• Визуализация на python
• Библиотека Lemon для алгоритмов на графах
• gtest

Темы вводных занятий

• Основы теории графов (что это такое, базовые алгоритмы: минимальное остовное дерево, Эйлеровы циклы)
• Приближённые алгоритмы, 2-оптимальное решение, паросочетания, 3/2-оптимальное решение
• Алгоритмы: перебор с возвратом, метод ветвей и границ, эвристики 2-opt и 3-opt, линейное программирование

Направления развития

Поскольку задача имеет некоторую практическую ценность, уже существует великое множество методов, помимо рассмотренных. Так например, для точного решения, помимо приведённых эвристик, могут быть полезны генетические алгоритмы, а для специального случая, когда расстояние между городами равно расстоянию на плоскости, существует полиномиальный алгоритм, находящий маршрут с любой наперёд заданной точностью.

Критерии оценки

Как уже сказано, есть два пути решения задачи - точный и приближённый.

Точный путь:

• 4: Алгоритм работает на графе до 20 вершин
• 6: Реализованы 2-opt и 3-opt, алгоритм работает для 50 вершин
• 8: Метод ветвей и границ с линейным программированием

+1 балл за визуализацию решения. Цель визуализации - чтобы на небольшом примере было понятно, как работает алгоритм.

+1 балл за сравнение трёх методов на практике с методом локальных оптимизаций: насколько часто локальными оптимизациями не получается добиться точного решения?

Приближённый путь:

• 4: Алгоритм, который выдаёт какое-нибудь решение и оценку сверху на ошибку
• 6: 2-приближение с помощью эйлерова цикла
• 8: 3/2-приближение с использованием поиска паросочетания

+1 балл за визуализацию решения. Цель визуализации - чтобы на небольшом примере было понятно, как работает алгоритм.

+1 балл за сравнение трёх методов на практике с методом локальных оптимизаций: насколько часто локальными оптимизациями не удаётся получить лучшего решения, чем описанные?