Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

О курсе

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — А. В. Устинов

Предварительная программа

1. Основные методы подсчёта контурных интегралов.
2. Вычисление суммы Гаусса.
3. Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
4. Тэта-функции.
5. Представление чисел суммами квадратов.
6. Модулярные формы.
7. Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
8. Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

Полезные ссылки

Таблица с номером аудитории

Приглашение в classroom

ТГ-группа

Лекции

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (оценка остаточного члена). [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025)

Экзамен (19.12.2025)

Оценка

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

Книги

Основная литература

1. [Ap] Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.
2. [Stein] Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.

Дополнительная литература

1. [Steph] Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.
2. [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
3. [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.
4. [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
5. [Rad1] Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).
6. [Rad2] Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).