Математический анализ -- 2 (2023/24)

Преподаватели и учебные ассистенты

Преподаватель -- Колесниченко Е.Ю.

Ассистенты: Лиджиев Тимур (221 группа), Исхакова Эмилия (222 группа)

О курсе

Курс первого семестра состоит из следующих разделов: числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы.

Курс второго семестра состоит из следующих разделов: интегралы, зависящие от параметров, теория Фурье, введение в комплексный анализ.

Лекции

Числовые ряды. Группировка слагаемых. Признаки сравнения. Лекция_1

Признак Коши-Лобачевского. Радикальный признак Коши. Признак Даламбера. Признак Гаусса. Лекция_2

Интегральный признак Коши. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля. Лекция 3

Признак Лейбница. Перестановка членов рядов. Теорема Римана Лекция 4

Произведение рядов. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Лекция 5

Равномерная сходимость функциональных последовательностей (продолжение). Лекция 6

Функциональные ряды и их свойства Лекция 7

Свойства степенных рядов. Определение кратного интеграла Римана Лекция 8

Свойства интеграла Римана. Множество лебеговой меры нуль. Топология в R^n. Лекция 9

Критерий компактности в R^n. Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Лекция 10

Теорема Кантора-Гейне. Критерий Лебега интегрируемости функции. Лекция 11

Суммы Дарбу, интегралы Дарбу, критерий Дарбу. Допустимые множества и интеграл по ним. Лекция 12

Критерий Лебега для допустимых множеств. Свойства интеграла Римана для допустимых множеств. Теорема Фубини. Лекция 13

Теорема Фубини для допустимого множества. Исчерпание множества. Несобственный интеграл. Мажорантный признак. Лекция 14

Теорема о замене переменной и доп.материал. Лекция 15

• Краткие конспекты лекций прошлого года за 1-й семестр

СИЗП. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости СИЗП Лекция 1

Равномерная сходимость семейства функций. НИЗП, Критерий Коши, теорема Вейерштрасса, признак Дирихле. Лекция 2

Признак Абеля. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость НИЗП. Лекция 3

Интегралы Дирихле, Лапласа, Френеля. Эйлеровы интегралы. Лекция 4

Свойства эйлеровых интегралов. Лекция 5

Евклидовые и нормированные пространства. Ряды Фурье. Лекция 6

Полный системы. Критерий полноты. Полнота основной тригонометрической системы (начало). Ядро Дирихле. Лекция 7

Ядро Фейера, частичные суммы ряда Фурье по Чезаро. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции. Лекция 8

Условие Дини. Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме. Лекция 9

Преобразование Фурье и его свойства. Лекция 10

Комплексная плоскость, дифференцируемость функций комплексного переменного. Лекция 12

Экспонента. Пути, кривые, области. Лекция 13

Конформные отображения. Сфера Римана. Лекция 14

Интегралы вдоль путей. Первообразная. Лекция 15

Лемма Гурса. Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши. Лекция 16

Ряды. Теорема Лиувилля и основная теорема алгебры. Формула Коши-Адамара. Лекция 17

• Краткие конспекты лекций прошлого года за 2-й семестр

Для интересующихся:

про отсутствие универсального ряда сравнения можно посмотреть здесь (стр.27 п.6)

теория про бесконечные произведения там же (стр. 44-55), наиболее интересная часть -- это разложение синуса в бесконечное произведение (стр.51-54, доказательство тяжеловесно, но результат стоит того)

про быстрое и дискретное преобразование Фурье Здесь

Семинары

Модуль 1

Семинар 1 Числовые ряды: определение и критерий Коши Задачи Доска

Семинар 2 Знакопостоянные ряды Задачи Доска

Семинар 3 Знакопеременные ряды Задачи Доска

Семинар 4 Абсолютная и условная сходимость. Бесконечные произведения. Произведения рядов. Задачи Доска

Семинар 5 Равномерная сходимость функциональной последовательности. Задачи Доска

Семинар 6 Равномерная сходимость функциональных рядов. Задачи Доска

Семинар 7 Степенные ряды. Задачи Доска

Модуль 2

Семинар 8 Двойные интегралы. Задачи Доска

Семинар 9 Тройные интегралы. Задачи Доска

Семинар 10 Замена переменных. Задачи Доска

Семинар 11 Другие замены переменных. Многократный интеграл. Задачи Доска

Семинар 12 Геометрические приложения. Задачи Доска

Семинар 13 Несобственные кратные интегралы. Задачи Доска -- ДЗ: только задачи 1 и 2

Семинар 14 Повторение и переваривание. Задачи Доска -- ДЗ с листка №13 задачи 4,5

Семинар 15 Доп.материал Доска

Модуль 3

Семинар 1 Собственные интегралы, зависящие от параметра. Задачи Доска

Семинар 2 Равномерная сходимость семейства функций. Задачи Доска

Семинар 3 Равномерная сходимость НИЗП. Задачи Доска

Семинар 4 Непрерывность НИЗП и именные интегралы. Задачи Доска

Семинар 5 Дифференцируемость и интегрируемость НИЗП. Задачи Доска

Семинар 6 Эйлеровы интегралы. Задачи Доска

Семинар 7 ОНС. Ряды Фурье. Задачи Доска

Семинар 8 Ряды Фурье и равенство Парсеваля. Задачи Доска

Семинар 9 Ряды Фурье (продолжение). Задачи Доска

Семинар 10 Преобразование Фурье. Задачи Доска

Модуль 4

Семинар 12 Комплексная плоскость. Задачи Доска (ДЗ без 4-й задачи)

Семинар 13 Непрерывность и дифференцируемость. Задачи Доска (ДЗ: 1-я и 2-я с текущего листка и 4-я из предыдущего)

Семинар 14 Дробно-линейные отображения. Задачи Доска

Семинар 15 Интегралы вдоль путей. Задачи Доска

Семинар 16 Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши. Задачи Доска

Семинар 17 Интегральная формула Коши для производных. Задачи

Домашние задания

В листке отдельно указано ДЗ.

Баллы за ДЗ в течение семестра суммируются и сумма масштабируется в 10-балльную шкалу: за осенний семестр выставляется оценка ДЗ1, за весенний -- ДЗ2.

Контрольные работы

В первом семестре будет 2 контрольные работы: КР1 в середине семестра и КР2 (= экзамен) в сессию после 2-го модуля. Оценки по 10-бальной шкале.

Во втором семестре будет 3 контрольные работы: КР3 и КР4 в течение семестра и КР5 (= экзамен) в сессию после 4-го модуля. Оценки по 10-бальной шкале.

КР_1 будет проходить 9 ноября. Нулевой вариант

КР_2 будет проходить 25 декабря. Нулевой вариант

КР_3 будет проходить 22 марта. Нулевой вариант

КР_4 будет проходить 30 апреля и ~16 мая. Нулевой вариант

Коллоквиумы

КЛ_1 будет проходить 11 и 13 ноября. Список вопросов

КЛ_2 будет проходить 18 декабря. Список вопросов

КЛ_3 будет проходить 16 и/или 18 марта. Список вопросов

КЛ_4 будет проходить в конце мая - начале июня. Список вопросов

Ведомость с оценками

221

222

Формы контроля и оценивание

Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки.

Итоговая оценка 1-го семестра: O_осень = 1/6 (ДЗ₁ + КЛ₁+ КЛ₂ ) + 1/4 (КР₁ + КР₂)

Итоговая оценка 2-го семестра: O_весна = 2/15 (ДЗ₂ + КЛ₃+ КЛ₄ ) + 1/5 (КР₃ + КР₄ + КР₅)

Все оценки считаются по 10-бальной шкале и учитываются без округлений. Округление производится по арифметическому правилу непосредственно перед выставлением итоговой оценки.

Итоговая оценка за курс: O_итог = 2/5 O_осень + 3/5 O_весна. В этой формуле баллы O_осень, O_весна учитываются уже округленными. Итоговая оценка округляется по арифметическому правилу.

Автоматы в курсе не предусмотрены.

Блокирующих форм контроля нет.

Список рекомендуемой литературы

Учебники

Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1969

Том 1 (пп. 1-262) Том 2 (пп. 263-542) Том 3 (пп. 543-762)

Зорич В.А. - Математический анализ. 2019

Часть 1 Часть 2

Задачники

Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Любое издание

Например, это

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. - Математический анализ в задачах и упражнениях. Т.2,3. МЦНМО, 2018